Краткая процедура (шаги) и ключевые формулы для оценки расстояния до источника слияния чёрных дыр (BBH) по сигналам LIGO/Virgo без ЭМ‑контакта, затем — ограничения метода «стандартных сирен».
Процедура (пошагово)
1. Предобработка: очистить данные, удалить артефакты, оценить шумовой спектр $S_n(f)$.
2. Мэтч‑фильтрация и детекция: найти событие и оценить сигнал‑к‑шум $\rho$.
3. Бейесовская оценка параметров: построить апостериор $p(\theta |d)$ для параметров $\theta =\{D_L,\iota ,{\mathcal{M}}_z,\chi ,\Omega ,\dots \}$ по закону
$$p(\theta |d)\propto p(\theta )\exp (-\frac{1}{2}⟨d-h(\theta )|d-h(\theta )⟩),$$ где скалярное произведение $⟨a|b⟩=4\Re {\int }_0^{\infty }\frac{\tilde{a}(f){\tilde{b}}^{\ast }(f)}{S_n(f)}df$.
4. Извлечение дистанции: взять маргинализованный постериор $p(D_L|d)=\int p(\theta |d)d{\theta }_{\setminus D_L}$. Средняя и доверительный интервал даёт оценку расстояния.
5. (Опционально) Статистическая привязка к красному смещению через каталоги галактик: для каждой галактики с координатами ${\Omega }_i$ и $z_i$ вычислить вероятность того, что она находится в объёме локализации, и объединить через иерархический байесовский подход для оценки космологических параметров (например $H_0$):
$$p(H_0|d)\propto p(H_0)\sum _i{w}_i\int p(d|D_L,{\Omega }_i)\delta (D_L-D_L(z_i;H_0))dz,$$ где веса $w_i$ учитывают светимость/массу/вероятность хоста и полноту каталога.
6. Комбинирование событий: при отсутствии одиночного хоста аккумулировать информацию от многих BBH через совместную апостериорную оценку (иерархическая модель).
Ключевые физические зависимости и источники неопределённости
- Амплитуда GW задаётся (в приближении квадруполя) как
$$h(f)\propto \frac{{\mathcal{M}}_z^{5/3}}{D_L}{f}^{2/3}F(\iota ,F_{+},F_{\times }),$$ где ${\mathcal{M}}_z=(1+z)\mathcal{M}$ — краснозависимая масса (chirp mass), а фактор поляризации/наклона содержит зависимость от угла наклонения $\iota$ и антенн детекторов.
- Деградация: наблюдаемая масса и частоты дают только ${\mathcal{M}}_z$ → без $z$ нельзя отделить $M$ и $z$. GW напрямую даёт только люминозную дистанцию $D_L$, а не $z$.
- Деградация $D_L$ ↔ $\iota$: амплитуда зависит на сочетание $D_L$ и $\iota$ (включая поляризационные паттерны), что даёт сильную корреляцию в апостериоре и увеличивает неопределённость $D_L$.
- Поле сети детекторов: лучше локализует источник и частично снижает $D_L$–$\iota$ вырожденность (разные поляризации).
- Высшие моды, прецессия спинов и высокая SNR помогают расслоить $\iota$ и $D_L$: включение них в модель улучшает разрешение по дистанции.
- Систематические источники ошибок: несовершенность формул волн (модельные погрешности), калибровочные ошибки приборов, гравитационное линзирование на больших $z$, селекционные эффекты (Malmquist), неполнота каталогов при статистическом связывании с галактиками, индивидуальные peculiar velocities на низком $z$.
Ограничения метода «стандартных сирен» без ЭМ‑контакта
- Отсутствие прямого измерения $z$: GW даёт $D_L$ но не $z$; следовательно, нельзя однозначно получить космологические параметры без дополнительной информации.
- Деградация $D_L$–$\iota$: для большинства BBH неопределённость расстояния типично составляет десятки процентов (часто $\sim 20$–$50\%$ при типичных SNR), хуже для низкого SNR.
- Неполнота и систематика каталогов: статистическая привязка к галактикам даёт смещение при неполноте каталога и требует корректных приоритетных весов хостов.
- Слабое линзирование: на $z\gtrsim 1$ флуктуации из‑за слабого гравитационного линзирования вносят дополнительную ошибку в $D_L$.
- Требуется множество событий: точное измерение $H_0$ и других параметров требует накопления десятков–сотен BBH и корректного учёта селекций.
- Для BBH отсутствуют приливные эффекты (как в BNS), поэтому немногие внутриродные способы измерить $z$ через физику источника недоступны.
Краткие рекомендации для улучшения оценки расстояния
- Использовать полную многочастотную модель волн с высшими модами и прецессией.
- Широкая сеть детекторов для лучшей поляризационной чувствительности.
- Совмещать со статистическими методами на каталогах галактик и иерархическими байесовскими моделями.
- Учитывать и корректировать селекционные эффекты и калибровочные систематики.
- Накопление большого числа событий для уменьшения статистической погрешности.
Заключение: по одному BBH без ЭМ можно получить маргинальный постериор по люминозной дистанции $p(D_L|d)$ (обычно с десятками процентов неопределённости). Для извлечения красного смещения/космологической информации необходимы либо статистические привязки к галактикам / популяционные методы, либо большое число событий и очень точные модели и калибровка.