Задача (формулировка). Для пилотируемой миссии из круговой околоземной орбиты (LEO) высотой $h_{\mathrm{LEO}}=200\text{km}$ над поверхностью Земли определить параметры классической свободной возвратной (free‑return) траектории к Луне в приближении «патч‑коник»: необходимые $\Delta v$ для TLI, скорость на удалённости Луны (гиперболический избыток) $v_{\infty }$, выбор перицентра облёта Луны \(r_{p,\Moon}\) (например, высота $h_{\mathrm{p}}=100\text{km}$ над поверхностью Луны) и получаемый угол отклонения при пролёте $\delta$. Оцените время перелёта и скорость при возвращении к околоземной орбите. Обсудите преимущества и ограничения free‑return профиля.
Дано (числа для примера)
- гравитационный параметр Земли ${\mu }_E=398600{\text{km}}^3/{\text{s}}^2$,
- радиус Земли $R_E=6378\text{km}$,
- среднее расстояние Луны от центра Земли \(r_{\Moon}=384400\ \text{km}\),
- гравитационный параметр Луны \(\mu_{\Moon}=4902.8\ \text{km}^3/\text{s}^2\),
- радиус Луны \(R_{\Moon}=1737\ \text{km}\).
Решение (патч‑коник, «эллипс с апогеем в точке Луны»).
1) Параметры исходной орбиты и трансфера:
- радиус LEO $r_{\mathrm{LEO}}=R_E+h_{\mathrm{LEO}}=6578\text{km}$.
- полуось трансферной эллиптической орбиты \(\displaystyle a=\frac{r_{\rm LEO}+r_{\Moon}}{2}\).
2) Скорости и $\Delta v$ TLI:
- орбитальная скорость в LEO: $v_{\mathrm{circ}}=\sqrt{\frac{{\mu }_E}{r_{\mathrm{LEO}}}}$.
- скорость на перигее трансферной эллипсы (в точке инжекции): $v_{\mathrm{trans}}(r_{\mathrm{LEO}})=\sqrt{{\mu }_E\left(\frac{2}{r_{\mathrm{LEO}}}-\frac{1}{a}\right)}$.
- требуемый импульс для TLI: $\Delta v_{\mathrm{TLI}}=v_{\mathrm{trans}}(r_{\mathrm{LEO}})-v_{\mathrm{circ}}$.
Подстановка чисел:
$$a=\frac{6578+384400}{2}=195489\text{km},$$ $$v_{\mathrm{circ}}=\sqrt{\frac{398600}{6578}}\approx 7.789\text{km/s},$$ $$v_{\mathrm{trans}}(r_{\mathrm{LEO}})=\sqrt{398600\left(\frac{2}{6578}-\frac{1}{195489}\right)}\approx 10.917\text{km/s},$$ $$\Delta v_{\mathrm{TLI}}\approx 10.917-7.789=3.13\text{km/s}.$$
3) Скорость в точке апогея (на расстоянии Луны) и $v_{\infty }$ относительно Луны:
- скорость на апогее трансфера: \(\displaystyle v_{\rm trans}(r_{\Moon})=\sqrt{\mu_E\!\left(\frac{2}{r_{\Moon}}-\frac{1}{a}\right)}\).
- орбитальная скорость Луны вокруг Земли: \(\displaystyle v_{\Moon}=\sqrt{\frac{\mu_E}{r_{\Moon}}}\).
- гиперболический избыток относительно Луны: \(\displaystyle v_\infty=\big|v_{\rm trans}(r_{\Moon})-v_{\Moon}\big|\).
Численно:
\[
v_{\rm trans}(r_{\Moon})\approx 0.188\ \text{km/s},\quad v_{\Moon}\approx 1.018\ \text{km/s},
\]
$$v_{\infty }\approx 0.831\text{km/s}.$$
4) Параметры облёта Луны и угол отклонения $\delta$.
Для заданного перицентра облёта (радиус центра Луны до перицентра) \(\displaystyle r_{p,\Moon}=R_{\Moon}+h_{\rm p}\) (при $h_{\mathrm{p}}=100\text{km}$ получаем \(r_{p,\Moon}=1837\ \text{km}\)) можно оценить параметр столкновения $b$ и угол отклонения:
- связь $b$ и $r_p$: \(\displaystyle b=r_p\sqrt{1+\frac{2\mu_{\Moon}}{r_p v_\infty^2}}\).
- угол отклонения асимптоты (гравитационный поворот): \(\displaystyle \delta=2\arctan\!\left(\frac{\mu_{\Moon}}{b\,v_\infty^2}\right)\).
Численно (для $h_{\mathrm{p}}=100\text{km}$):
\[
\frac{2\mu_{\Moon}}{r_p v_\infty^2}\approx 7.74,\quad b\approx 5434\ \text{km},
\]
$$\delta \approx 2\arctan \left(\frac{4902.8}{5434\cdot 0.831^2}\right)\approx 105^{\circ }.$$
Такой поворот (>90°) достаточен, чтобы переориентировать траекторию назад к Земле — получается классический «circumlunar free‑return» (космический аппарат проходит за Луной и возвращается к Земле без дополнительного серьёзного $\Delta v$).
5) Время перелёта (полупериод трансферной эллипсы):
$$\mathrm{TOF}=\pi \sqrt{\frac{a^3}{{\mu }_E}}\approx \pi \sqrt{\frac{(195489{)}^3}{398600}}\approx 4.98\text{суток}.$$ (Это значение для чистого «Hohmann»‑типа трансфера; на практике траектории короче — ~3 сут — возможны за счёт более энергичных инжекций.)
6) Скорость при возвращении к околоземной высоте
Возвратная симметрия даёт приближённую скорость вблизи Земли равную скорости трансфера в перигее, т.е. ~$10.9\text{km/s}$ на высоте LEO (приближённо скорость при входе в атмосферу порядка 11 км/s).
Краткое обсуждение преимуществ free‑return профиля
- Отказоустойчивость: при неработающем двигателе после TLI аппарат сам вернётся к Земле без крупных манёвров.
- Экономия топлива: минимальные дополнительные $\Delta v$ для гарантированного возвращения.
- Простота навигации: траектория геометрически надёжна и опробована (пример — миссии «Аполлон»).
Ограничения и недостатки
- Меньшая гибкость: жёсткие требования к времени инжекции и точности, ограниченные варианты облёта/посадки.
- Длительность перелёта: «энергетически экономный» трансфер может быть длиннее по времени; при необходимости быстрее попасть к Луне нужен больший $\Delta v$.
- Ограничения по параметрам облёта: чтобы обеспечить нужный угол поворота, требуется достаточно малый перицентр облёта (близко к Луне), что накладывает риски (атмосфера/твердость рельефа не актуальны для Луны, но навигационная точность критична).
- Невозможность выполнить мягкую посадку на Луну в рамках простой free‑return без дополнительных манёвров (free‑return — про облёт, не посадку).
Итог (рекомендация). Для стандартной пилотируемой миссии из LEO 200 km циркумлунарный free‑return с TLI $\Delta v\approx 3.1\text{km/s}$, гиперболическим $v_{\infty }\approx 0.83\text{km/s}$ и перицентром облёта $h_{\mathrm{p}}\sim 100\text{km}$ даёт угол отклонения $\sim 105^{\circ }$ и безопасный самовозврат. При проектировании следует учитывать требуемую точность инжекции, желаемое время полёта и требования к аварийным процедурам; при необходимости уменьшить время полёта — увеличить $\Delta v$ и отказаться от чистого free‑return.