Расчёт углового размера тени и требования к VLBI — кратко.
1) Оценка углового размера тени:
- масса $M$ и расстояние $D$: $M\approx 4\times 10^6{M}_{\odot }$, $D\approx 8.3\mathrm{kpc}$.
- радиус Шварцшильда: $$R_s=\frac{2GM}{c^2}\approx 2.95\mathrm{km}\times \left(\frac{M}{M_{\odot }}\right)\approx 2.95\mathrm{km}\times 4\times 10^6=1.18\times 10^7\mathrm{km}=1.18\times 10^{10}\mathrm{m}.$$ - угловый диаметр тени (для невращающейся чёрной дыры диаметр примерно $5.2R_s/D$, т.е. радиус ~$2.6R_s/D$): $$\theta \approx \frac{5.2R_s}{D}=\frac{5.2\times 1.18\times 10^{10}\mathrm{m}}{2.56\times 10^{20}\mathrm{m}}\approx 2.4\times 10^{-10}\mathrm{rad}.$$ - в микросекундах дуги: $$\theta \approx 2.4\times 10^{-10}\mathrm{rad}\times (2.06265\times 10^{11}\mu as/rad)\approx 5.0\times 10^1\mu \mathrm{as}(\sim 50\mu \mathrm{as}).$$
2) Требования к разрешению и базису VLBI:
- порядок разрешения интерферометра: ${\theta }_{\mathrm{res}}\sim \lambda /B$.
- для волны $\lambda =1.3\mathrm{mm}$ ($230\mathrm{GHz}$) нужно базисное расстояние $$B\sim \frac{\lambda }{\theta }\approx \frac{1.3\times 10^{-3}\mathrm{m}}{2.4\times 10^{-10}\mathrm{rad}}\approx 5.4\times 10^6\mathrm{m}\approx 5400\mathrm{km}.$$ - максимальный земной базис $B_{\mathrm{Earth}}\approx 1.27\times 10^7\mathrm{m}$ даёт разрешение $${\theta }_{\mathrm{res}}\approx \frac{1.3\times 10^{-3}}{1.27\times 10^7}\mathrm{rad}\approx 1.0\times 10^{-10}\mathrm{rad}\approx 21\mu \mathrm{as},$$ то есть достаточно для детального изображения структуры тени и кольца.
- практические требования: чувствительность (большие антенны, широкая полоса), хорошее покрытие uv-плоскости, компенсация интерстеллярного рассеяния (оно растёт как $\propto {\lambda }^2$) и учёт короткотемповой изменчивости Sgr A*.
3) Сопоставление с результатами EHT:
- EHT наблюдал на $\lambda =1.3\mathrm{mm}$ (ок. $230\mathrm{GHz}$) с межконтинентальными базисами до земли-диаметра; достигнутое угловое разрешение порядка \(\sim 20\mbox{--}25\ \mu\mathrm{as}\).
- EHT получил изображение Sgr A* с кольцевой структурой и диаметром порядка $\sim 50\mu \mathrm{as}$, что согласуется с приведённой оценкой теоретической тени.
- основные практические сложности, решённые EHT: высокая частота для уменьшения рассеяния, синхронизация по времени/фазе, большая чувствительность и сложная реконструкция изображения при переменном источнике.
Вывод: порядок углового размера тени Sgr A* $\sim 50\mu \mathrm{as}$; это укладывается в возможности земного VLBI на $\lambda \approx 1.3\mathrm{mm}$ (базисы нескольких тысяч км — до диаметра Земли), что и было реализовано EHT.