Краткая модель, устойчивые конфигурации и численные процедуры проверки долговечности.
1) Условия и приближения
- Иерархическая система: звезда $M_{\star }$, планета $m_p$, спутник $m_m$ с $m_m\ll m_p\ll M_{\star }$. Работать в якобиевых (планета относительно звезды, спутник относительно планеты) или в приближении Хилла.
- Резонанс 2:1 по средним движениям: $n_m\approx 2n_p$, где $n=\sqrt{G(M)/a^3}$.
2) Положение резонанса (ориентировочно)
- Из формул Кеплера для двух орбит:
$$n_p=\sqrt{\frac{G(M_{\star }+m_p)}{a_p^3}},n_m=\sqrt{\frac{G(m_p+m_m)}{a_m^3}}.$$ Условие $n_m=2n_p$ даёт
$$a_m=a_p{\left(\frac{m_p+m_m}{4(M_{\star }+m_p)}\right)}^{1/3}$$ и при $m_m\ll m_p\ll M_{\star }$ $$a_m\approx a_p{\left(\frac{m_p}{4M_{\star }}\right)}^{1/3}.$$
- Радиус Хилла планеты:
$$R_H=a_p{\left(\frac{m_p}{3M_{\star }}\right)}^{1/3}.$$ Для того чтобы спутник вообще мог существовать, нужно $a_m\lesssim R_H$. Практически устойчивые проагрессивные орбиты ограничены примерно $a\lesssim 0.4\text{–}0.5R_H$ (эмпирически).
3) Резонансная теория — переменные и углы
- Основные резонсные углы для внешнего/внутреннего 2:1 (зависит от того, какая орбита «внутренняя» — у нас спутник внутренний):
$${\varphi }_1=2{\lambda }_m-{\lambda }_p-{\varpi }_m,{\varphi }_2=2{\lambda }_m-{\lambda }_p-{\varpi }_p,$$ где $\lambda$ — долгота, $\varpi$ — аргумент перицентра.
- Устойчивая резонансная конфигурация характеризуется либрацией (колебанием вокруг фиксированного центра) одного или нескольких ${\varphi }_i$.
4) Возможные устойчивые конфигурации
- Низкоэксцентричные стабильные резонансы: ${\varphi }_i$ либрируют вокруг $0$ или $\pi$. Часто устойчивы при малых $e_m$.
- Апсальное коротирование (apsidal corotation): перицентры планеты и спутника выравниваются (или анти-выравниваются): $\Delta \varpi ={\varpi }_m-{\varpi }_p$ фиксировано; часто связано с совместной либрацией ${\varphi }_1,{\varphi }_2$.
- Асимметричные состояния резонансного «прошибного» типа — возможны при конечной массе спутника/планеты; центры либрации не симметричны.
- Высокоинклинатные режимы: возможны Козаи–Лидовского типа обмены $e\leftrightarrow i$ с резонансной модификацией; такие состояния часто нестабильны долгосрочно.
- Evection и другие штаровые резонансы: если прецессия перицентра спутника совпадает с $n_p$, может происходить сильное увеличение $e_m$ (неустойчиво).
5) Критерии устойчивости (практические)
- Геометрические: $a_m$ внутри устойчивой доли Хилла: $a_m\lesssim 0.4\text{–}0.5R_H$ (проагрессивные орбиты).
- Резонанс: устойчивость если резонсные углы либрируют длительно и амплитуды небольшие.
- Эксцентриситет: если резонанс вызывает рост $e_m$ до пересечения границ (пересечение с планетой, Roche limit, выход из Хилла) — нестабильность.
- Хаос: наличие быстрой экспоненциальной дивергенции орбит (короткое ляпуново время) — признак бесперспективности долговечности.
6) Численная оценка долговечности — пошаговый рецепт
- Выбор модели: полная N-body (точно) или усреднённая резонансная гамильтонова модель (для понимания фазовой структуры).
- Интегратор: симплектический для длинных интеграций (Wisdom–Holman / WHFast) или высокоточный адаптивный (IAS15) если нужны столкновения/близкие сближения. Для включения приливов/диссипации — REBOUND+REBOUNDx (или MERCURY+модули).
- Временной шаг: для симплектического метода взять $\Delta t\lesssim P_m/20$ (лучше $//P_m/50)$, где $P_m=2\pi /n_m$.
- Диагностика:
- Отслеживать $a,e,i$ и резонсные углы ${\varphi }_i(t)$; фиксированная либрация на длительном интервале — положительный знак.
- MEGNO (Mean Exponential Growth factor of Nearby Orbits): MEGNO $\approx 2$ — квази-периодическое, большие значения — хаос.
- Ляпуново экспоненциальное время $T_L$ (напр., численное вычисление на множестве траекторий).
- Частотный анализ (FMFT) для проверки стабильности частот: постоянные частоты → стабильность.
- Сценарии испытаний:
- Сеточные сканы параметров: варьировать $a_m$, $e_m$, $i_m$, фазы $\varpi ,\lambda$ и строить карты выживаемости/MEGNO.
- Множественные реализаций с рандомизированными фазами для оценки вероятности выживания.
- Включение приливного затухания: добавить модель $\dot{a},\dot{e}$ (REBOUNDx); оценить временна́я эволюция резонанса.
- Длительность интеграций: для предварительной оценки $10^4\text{–}10^6$ орбит планеты; для надёжного вывода о Gyr-стабильности — многомиллионные орбиты и/или проверка слабого хаоса (MEGNO/LCN).
7) Примерные оценки и индикаторы
- Если при интеграции:
- ${\varphi }_i$ либрирует с малой амплитудой > длительно, MEGNO $\approx 2$, и $a_m<0.5R_H$ → высокая вероятность устойчивости на астрономические времена.
- MEGNO$\gg 2$ или $T_L$ мало (меньше требуемого времени жизни системы) → нестабильность/хаос.
- Учесть приливы: если приливной временной масштаб $t_{\mathrm{tide}}$ сравним с возрастом системы, резонанс может разрушиться; грубая формула для порядка величины скорости изменения полуоси (приближенно):
$$\dot{a}\sim -\frac{6k_2}{Q}\frac{M}{m}{\left(\frac{R}{a}\right)}^{5}na$$ где $k_2$ — Love-коэффициент, $Q$ — фактор качества, $R$ — радиус тела; точные коэффициенты зависят от модели приливов.
8) Практические рекомендации
- Сначала получить фазовый портрет при помощи усреднённой гамильтоновой резонансной модели (пендулоподобное приближение) чтобы найти центры и ширины резонанса.
- Затем подтвердить с помощью полных N-body интеграций с контролем консервации энергии и с вычислением MEGNO/LCN.
- Построить карты выживаемости в плоскостях $(a_m,e_m)$, $(a_m,i_m)$ и оценить фракцию выживших для статистики.
- Для реальных оценок долговечности включать приливы и внешние возмущения (другие планеты, звёздный ветер и т.п.).
Если хотите, могу: (а) вывести усреднённый резонансный гамильтониан в первом порядке по массам и показать выражение для ширины резонанса (пендулоподобная аппроксимация), либо (б) предложить конкретные численные настройки (массы/временные шаги/параметры MEGNO/шаблон скрипта REBOUND) для вашей конкретной системы.