Для анализа задачи начнем с того, что принцесса получает дополнительную полезность от каждой перины. Обозначим количество перин, которые она заказывает, как ( N ).

Согласно условию, полезность от ( N )-й перины составляет ( 100N ) единиц. Таким образом, если она заказывает 2 перины, то дополнительная полезность составит:

от первой перины: ( 100 \times 1 = 100 ) единиц,от второй перины: ( 100 \times 2 = 200 ) единиц.

Общая полезность от 2 перин:
[
U = 100 + 200 = 300 \text{ единиц.}
]

Затраты на производство 2 перин будут равны:
[
C = 2 \times M.
]

Согласно условиям задачи, принцесса теряет ( C^2 ) единиц полезности из-за суммарных издержек. Используя обозначение ( C ) для суммарных издержек, мы можем выразить потерю полезности следующим образом:
[
\text{Потеря полезности} = C = 2M.
]

Таким образом, полезность от 2 перин теперь будет равна:
[
\text{Полезность}_{итог} = \text{Полезность от перин} - \text{Потеря полезности} = 300 - 2M.
]

Чтобы максимизировать полезность, найдем значение ( M ), при котором полезность достигает максимума. То есть:
[
300 - 2M \rightarrow \text{максимум}.
]
Для этого полезность должна быть равной нулю или больше нуля:
[
300 - 2M \geq 0 \Rightarrow 300 \geq 2M \Rightarrow 150 \geq M.
]

Учитывая, что ( M ) – целое число, получаем:
[
M \leq 150 \quad \text{и} \quad M \geq 0.
]

Однако, поскольку в условии указано, что задача максимизирует полезность, поскольку принцесса заказывает 2 перины, то рационально выбрать ( M = 150 ) для получения максимальной итоговой полезности равной:
[
300 - 2 \times 150 = 300 - 300 = 0.
]

Таким образом, оптимальное значение для ( M ) – это:
[
\boxed{150}.
]