"Likes" используется в данном случае, так как "family" является одним целым, единственным существительным и, поэтому, используется глагол в единственном числе. Таким образом, правильная форма будет "My family likes reading". В случаях, когда существительное во множественном числе (например, "families"), глагол не будет оканчиваться на s/es: "My families like reading".