Задача для студентов (кратко): дан временной ряд годовых наблюдений плотностей жертв $x(t)$ и хищников $y(t)$ за $50$ лет с периодическими всплесками. Проанализировать механизмы колебаний и сделать прогноз на $10$ лет с оценкой неопределённости; сопоставить несколько классов моделей и дать рекомендации по лучшей модели(ям).
Рекомендуемые классы моделей и примеры (цель — сравнить по качеству объяснения периодичности и прогностической мощности):
1) Классическая детерминистская модель Лотка–Вольтерра (базовый эталон)
$$\frac{dx}{dt}=\alpha x-\beta xy,\frac{dy}{dt}=\delta xy-\gamma y.$$ Цель: понять базовую фазовую структуру и периодичность.
2) Модификации с ограничением роста и функциональной реакцией (реалистичнее)
- Логистический рост жертвы + Холлинг II:
$$\frac{dx}{dt}=rx\left(1-\frac{x}{K}\right)-\frac{ax}{1+ahx}y,\frac{dy}{dt}=e\frac{ax}{1+ahx}y-my.$$ Цель: учесть насыщение хищника и ёмкость среды.
3) Сезонная (периодическая) сила в параметрах (объясняет годовые всплески)
$$r(t)=r_0(1+A\sin (2\pi t/T+\varphi ))$$ или периодичность в $a(t)$ или в ресурсах.
4) Модели с эффектом альтризма / социальным поведением
- Альтруистичное поведение жертв (снижение уязвимости при групповом поведении):
$$\frac{dx}{dt}=rx\left(1-\frac{x}{K}\right)-\frac{ax}{1+ahx}\frac{y}{1+\alpha y}.$$ - Социальное сотрудничество хищников (усиление эффективности с плотностью):
$$\text{вставить фактор}(1+\kappa y)\text{в приём пищи/рекрутинг}.$$ Цель: модельные варианты, показывающие, как социальное поведение меняет амплитуду/период.
5) Задержки во взаимодействии (биологические лаги)
$$\frac{dy}{dt}=\delta x(t-\tau )y(t-\tau )-\gamma y(t).$$ Цель: проверить, порождают ли задержки устойчивую периодичность.
6) Стохастические модели
- Случайные возмущения (SDE):
$$d{X}_t=f_X(X_t,Y_t)dt+{\sigma }_X{X}_{t}d{W}_t^X,d{Y}_t=f_Y(X_t,Y_t)dt+{\sigma }_Y{Y}_{t}d{W}_t^Y.$$ - Дискретные birth–death или мастер-уравнения для малых популяций.
Цель: учитывать демографическую/средовую шумиху и прогнозировать интервалы доверия.
7) Модели состояния-наблюдения (state-space) для учёта ошибок измерений
$$\text{состояние:}{x}_{t+1}=g(x_t,\theta )+{\eta }_t,z_t=h(x_t)+{\epsilon }_t.$$ Применять particle filter / PMCMC / EnKF для оценивания и прогнозирования.
8) Пространственные и возрастные расширения (если есть пространственная/структурная информация)
$${\partial }_{t}x=D_x{\nabla }^{2}x+f(x,y),{\partial }_{t}y=D_y{\nabla }^{2}y+g(x,y).$$
Рабочий план студентов (шаги):
- Предобработка: устранение тренда, нормировка, оценка пропусков.
- Диагностика периодичности: спектральный анализ, автокорреляция, вейвлет.
- Построение и калибровка моделей: последовательная детализация — LV → LV+логистика+Holling → сезонность → SDE / state-space. Оценка параметров через MLE/профилирование и/или байесовские методы (MCMC).
- Валидация и сравнение: AIC/BIC/WAIC, кросс-валидация по времени, проверка остатков, прогностические проверки на отложенном периоде.
- Прогнозирование: ансамблевые прогнозы, particle filter для SDE/state-space; отчёт по неопределённости (интервалы, прогнозные распределения).
- Анализ чувствительности и биологическая интерпретация (влияние сезонности, альтруизма, лагов).
- При необходимости: bifurcation analysis для определения переходов между режимами (фиксированная точка ↔ осцилляции).
Критерии оценки моделей и прогнозов:
- RMSE/MAE для средних прогнозов.
- Критерии предсказательной калибровки: покрытие доверительных интервалов, CRPS для распределений.
- Способность воспроизвести амплитуду, фазу и период всплесков.
- Биологическая правдоподобность параметров.
Краткие рекомендации по реализации:
- Начните с простых моделей (LV, логистический + Holling II) — они дают интуицию.
- Если в данных выраженная периодичность, сразу тестируйте сезонность в параметрах и/или задержки.
- Для прогноза избыточную детальность заменяйте стохастическим описанием и state-space подходом для корректной оценки неопределённости.
Если нужно, подготовлю конкретное задание с набором задач (описание данных, набор моделей, шаблоны кода на R/Python) и критериями оценивания.