Коротко о том, что понимается под «фундаментальной реальностью»: вопрос об онтологическом статусе абстрактных объектов — существуют ли числа, истины и т.п. независимо от людских дум, языков и материи, или они лишь полезные вымышленные/зависимые конструкции.
Позиции:
- Платонизм (математический реализм). Утверждает, что абстрактные объекты реально существуют независимо от людей, времени и пространства. Примеры: множество натуральных чисел $\mathbb{N}$, вещественное число $\pi$ — имеют объективное бытие и свойства, которые мы открываем, а не создаём. Плюсы: объясняет впечатляющую «независимость» и объективность математики; минусы: эпистемологическая проблема (как мы познаём нематериальные сущности?) и метафизическая тяжесть (почему и как такие сущности существуют).
- Номинализм. Отрицает независимую реальность абстрактных объектов: «числа» — это имена, символы, предикаты, языковые/ментальные конструкции или удобные упрощения. Варианты: предикатный номинализм, фикционализм (математика — полезная выдумка), морфологический/конкретный номинализм (замена абстрактного термина на совокупность конкретных предметов). Плюсы: экономия онтологии и лучшее согласование с эмпиризмом; минусы: трудности объяснить общую применимость математики к природе и ощущение объективности математических утверждений.
- Конструктивизм (интуиционизм, конструктивная математика). Утверждает, что абстрактные объекты существуют лишь когда они конструктивно «построены» или когда их существование выведено конструктивной процедурой/доказательством. Для конструктивиста «существует» значит «можно явно сконструировать»; например, существование числа с некоторым свойством требует алгоритма для него, и для бесконечных утверждений часто не признаётся закон исключённого третьего. Плюсы: ясные критерии существования и связь с эффективностью/вычислением; минусы: отвергаются многие классические теоремы и интуитивно принимаемая объективность.
Краткое сравнение: платонизм — да, абстрактные объекты фундаментально реальны; номинализм — нет, это несущественные либо языковые/фиктивные конструкции; конструктивизм — частично: реальны лишь те объекты, которые можно конструктивно получить/доказать.