Для решения задачи используем закон сохранения энергии:

[
P_1V_1 + mgh_1 = P_2V_2 + mgh_2
]

Где:

(P_1) - давление в начальный момент времени(V_1) - объем газа в начальный момент времени(m) - масса груза(g) - ускорение свободного падения(h_1) - начальная высота поршня(P_2) - давление в конечный момент времени(V_2) - объем газа в конечный момент времени(h_2) - конечная высота поршня

Чтобы определить новый объем газа, перейдем к новому уравнению, в котором масса груза принимается с обратным знаком (так как груз находится выше уровня газа, ему необходимо преодолеть высоту (h_2-h_1)):

[
P_1V_1 + 5gh= P_2V_2 + 5gh_2
]

Так как цилиндр теплоизолированный, то можно составить уравнение газового состояния:

[
P_1V_1 = P_2V_2
]

Таким образом, можно записать два уравнения:

[
P_1V_1 + 5gh = P_2V_2 + 5gh_2
]
[
P_1V_1 = P_2V_2
]

Подставим (P_2 = \frac{{m_1g}}{{A}} + P_0), где (A) - площадь поршня, (m_1) - суммарная масса поршня и груза, а (P_0) - атмосферное давление:

[
P_1V_1 + 5gh = \left( \frac{{m_1g}}{{A}} + P_0 \right)V_2 + 5gh_2
]

Также заменим давление через идеальный газ и уравнение состояния:

[
PV = nRT
]

[
RT = \frac{{P_1V_1}}{n}
]
[
\frac{{RT}}{V_1} = P_1
]

Теперь можно выразить (P_2) через (P_1) и (V_1), а затем вставить в уравнение:

[
\frac{{RT}}{V_1}V_1 + 5gh = \left( \frac{{m_1g}}{{A}} + P_0 \right)V_2 + 5gh_2
]

Решая уравнение для (V_2), получаем окончательный ответ.