Чтобы решить систему неравенств

[
\frac{x}{2} \leq 2 - x > 0
]
[
2 - x \geq 2x + 1
]

начнем с первого неравенства:

Разделим его на два:

(\frac{x}{2} \leq 2 - x) и (2 - x > 0).

Сначала решим (\frac{x}{2} \leq 2 - x):

[
\frac{x}{2} + x \leq 2
]
[
\frac{x + 2x}{2} \leq 2
]
[
\frac{3x}{2} \leq 2
]
Умножим обе стороны на 2:

[
3x \leq 4
]
[
x \leq \frac{4}{3}
]

Теперь решим второе неравенство (2 - x > 0):

[
2 > x
]
или
[
x < 2
]

Таким образом, из первого неравенства мы получили, что (x \leq \frac{4}{3}) и (x < 2). Следовательно, первое неравенство сводится к (x \leq \frac{4}{3}).

Теперь рассмотрим вторую часть неравенств:

Решим (2 - x \geq 2x + 1):

[
2 - x \geq 2x + 1
]
[
2 - 1 \geq 2x + x
]
[
1 \geq 3x
]
[
x \leq \frac{1}{3}
]

Теперь у нас есть два результата:

(x \leq \frac{4}{3})(x \leq \frac{1}{3})

Объединив эти два результата, мы получаем, что (x \leq \frac{1}{3}).

Таким образом, решением системы неравенств является:

[
x \in (-\infty, \frac{1}{3}]
]