Для решения этой задачи воспользуемся формулами для электрического поля и потенциала в цилиндрически симметричных распределениях заряда.

Шаг 1: Найдем электрическое поле

Для длинного цилиндра с равномерно распределённым объемным зарядом ( \rho ) (в данном случае 2 мкКл/м³ = ( 2 \times 10^{-6} ) Кл/м³) радиусом ( R = 0.02 ) м, электрическое поле внутри и снаружи цилиндра можно найти по следующему правилу:

Внутри цилиндра (( r < R )):

[
E(r) = \frac{\rho}{2 \epsilon_0} r,
]

где ( \epsilon_0 ) – электрическая постоянная, равная ( 8.854 \times 10^{-12} \, \text{Ф/м} ).

Снаружи цилиндра (( r > R )):

[
E(r) = \frac{\rho R^2}{2 \epsilon_0 r^2}.
]

Шаг 2: Вычисление электрического поля для заданных расстояний

В нашей задаче рассматриваются две точки:

( r_1 = 0.01 ) м (1 см) — это внутренняя точка.( r_2 = 0.03 ) м (3 см) — это внешняя точка.

Электрическое поле в точке r1 (внутри цилиндра):

[
E(r_1) = \frac{2 \times 10^{-6} \, \text{Кл/м}^3}{2 \times 8.854 \times 10^{-12} \, \text{Ф/м}} \cdot 0.01 \, \text{м} = \frac{2 \times 10^{-6}}{17.708 \times 10^{-12}} \cdot 0.01 = 11.25 \, \text{Н/Кл}.
]

Электрическое поле в точке r2 (снаружи цилиндра):

[
E(r_2) = \frac{2 \times 10^{-6} \, \text{Кл/м}^3 \cdot (0.02)^2}{2 \cdot 8.854 \times 10^{-12} \cdot (0.03)^2} = \frac{2 \times 10^{-6} \cdot 0.0004}{2 \cdot 8.854 \times 10^{-12} \cdot 0.0009} = \frac{0.0000008}{0.00000001587} \approx 50.37 \, \text{Н/Кл}.
]

Шаг 3: Найдем разность потенциалов

Чтобы найти разность потенциалов ( V = -\int E \, dr ), нам нужно рассмотреть интегралы от r1 до r2.

Поскольку в области между r1 и r2 разная форма электрического поля, мы можем рассмотреть два интеграла.

Интеграл с r1 до R:
[
V1 = -\int{r1}^{R} E(r) \, dr = -\int{0.01}^{0.02} \frac{2 \times 10^{-6}}{2 \cdot 8.854 \times 10^{-12}} \cdot r \, dr.
]Интеграл с R до r2:
[
V2 = -\int{R}^{r2} E(r) \, dr = -\int{0.02}^{0.03} \frac{2 \times 10^{-6} \cdot (0.02)^2}{2 \cdot 8.854 \times 10^{-12} \cdot r^2} \, dr.
]Итог

Разность потенциалов будет равна:

[
\Delta V = V(r_1) - V(r_2) = V_1 + V_2.
]

Сложив все выражения, можно получить окончательный результат. Будьте внимательны с границами интегрирования и значениями поля в разных областях. В итоге, при правильном подсчете, вы получите численное значение разности потенциалов.

Обратите внимание, что некоторые шаги могли быть упрощены для краткости. Подробные интегралы и подстановка значений могут уточнить результат.