Коротко: энергия не «берётся» у поля сама по себе — она передаётся от внешней механической силы или источника питания через электромагнитное поле в цепь и/или в нагревание. Ниже — пояснение с формулами.
1) Индукция и мотиональная ЭДС (движущийся контур)
$\mathcal{E}={\oint }_{C(t)}(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})\cdot d\mathbf{\ell }=-\frac{d}{dt}{\int }_{S(t)}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}.$ Эта общая формула показывает, что в движущемся проводнике появляется ЭДС равная изменению магнитного потока (правило Фарадея) либо равная интегралу $(\mathbf{v}\times \mathbf{B})$ вдоль проводника (мотиональная ЭДС).
2) Откуда энергия
- Если через контур течёт ток $I$, электрическая мощность, отводимая от индуцированной ЭДС, равна $P_{эл}=I\mathcal{E}$. Эта энергия достаётся из работы внешних сил, которые перемещают проводник против магнитных тормозящих сил.
- Если нет внешней силы, кинетическая энергия движущегося тела убывает (эффект торможения), а энергия рассеивается в цепи как джоулево тепло $P_J=I^{2}R$ или накапливается в поле.
3) Баланс энергии (общая форма)
Для системы «проводник + поле» можно записать баланс (интегрально или через Пойнтинга). Проще в форме скалярной мощности:
$P_{mech}+P_{источника}=P_{джоулева}+\frac{d{U}_{mag}}{dt}+\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}M{v}^2\right),$ где $P_{mech}=F_{ext}\cdot v$ — мощность внешней механической силы, $P_{источника}$ — мощность батареи/генератора (если есть), $U_{mag}$ — энергия магнитного поля, $M{v}^2/2$ — кинетическая энергия движущегося тела. В стационарном режиме ($d{U}_{mag}/dt=0,d(KE)/dt=0$):
$F_{ext}v+P_{источника}=I^{2}R.$
4) Роль силы Лоренца
- Сила Лоренца на заряд $q$ не меняет его кинетическую энергию, если единственная сила — магнитная, потому что ${\mathbf{v}}_{charge}\perp ({\mathbf{v}}_{charge}\times \mathbf{B})$. Но в движущемся проводнике суммарная картина иная: движущийся носитель заряда испытывает силу $q({\mathbf{v}}_{пров}\times \mathbf{B})$, которая создаёт продольное перераспределение зарядов (ЭДС) и вызывает ток. Магнитные силы на токовые элементы $d\mathbf{F}=Id\mathbf{\ell }\times \mathbf{B}$ могут совершать работу над механической частью проводника (тормозя её); эта работа компенсируется внешним $F_{ext}$.
- Энергетически полезно думать через работу внешней силы и поток энергии в поле (Пойтинг): поле передаёт энергию от механики к электричеству и дальше в нагрузку.
5) Когда учитывать трение или источники питания
- Учитывайте механическое трение, если есть контактные/вязкие силы, которые тоже отнимают мощность: добавить $P_{fric}$ в правую часть баланса.
- Учитывайте внешние источники (батареи, генераторы), если в цепи есть ЭДС помимо индуцированной; тогда они дают/поглощают мощность $P_{источника}$ и изменяют направление и величину сил (например, при подключённой батарее вы можете приводить контур в движение, а не получать энергию).
- При быстрых изменениях поля или больших токах учитывайте изменение энергии поля $\frac{d{U}_{mag}}{dt}$ и индуктивные эффекты.
6) Практический итог
- Если проводник движется и вы получаете электрическую энергию (нагрузка, нагрев), эта энергия берётся из работы, которую нужно совершить против магнитных сил (или из кинетической энергии тела, если внешняя сила отсутствует).
- В расчётах всегда используйте уравнение Фарадея для ЭДС и баланс мощности с учётом джоулевых потерь, изменения энергии поля и дополнительной механической диссипации.
Если нужно, могу записать эти балансы для конкретного примера (скользящий стержень в неоднородном $B$, контур с сопротивлением и массой) и показать численный расчёт.