Кратко: в среде с градиентом показателя преломления луч непрерывно переломляется в сторону возрастания $n$; его траектория определяется уравнением луча (эйлерово/эконо-равновесие) и для типовых профилей (особенно параболического) имеет аналитические решения — часто синусоидального вида. Это даёт компактные «линзы», повороты и фазовые элементы прямо на чипе.
Формула для траектории (общая)
- Уравнение луча (из принципа наименьшего времени / уравнения Эйлера для оптического пути):
$$\frac{d}{ds}\left(n(\mathbf{r})\frac{d\mathbf{r}}{ds}\right)=\nabla n(\mathbf{r}),$$ где $s$ — длина по лучу, $\mathbf{r}(s)$ — координата луча.
Интуиция
- Луч всегда изгибается в сторону возрастания $n$ (локальная форма закона Снелла).
- Для слабых углов (параксиальное приближение) задача даёт ОДУ второго порядка для поперечной координаты.
Пример: параболический профиль (классический GRIN)
- Пусть радиальный (или поперечный) профиль
$$n(r)=n_0-\frac{1}{2}\alpha r^2,$$ тогда для поперечной координаты $r(s)$ получается гармонический осциллятор:
$$\frac{d^{2}r}{d{s}^2}+\frac{\alpha }{n_0}r=0.$$ - Общее решение (начальные условия $r(0)=r_0,r^{\prime }(0)={\theta }_0$):
$$r(s)=r_0\cos (gs)+\frac{{\theta }_0}{g}\sin (gs),g=\sqrt{\frac{\alpha }{n_0}}.$$ - Лучи выполняют периодические (синусоидальные) фокусировки вдоль оси; «период» (pitch)
$$P=\frac{2\pi }{g}.$$
Специальные профили и их эффекты
- Luneburg / Maxwell-fish-eye / Eaton — дают безабберационные фокусирующие или поворачивающие траектории; некоторые профили направляют любой входящий угол в заданную точку/направление.
- Переходный/адiabатический градиент позволяет плавно перекладывать моды между разными поперечными размерами/индексами (низкие потери).
Приложения в интегрированной фотонике (коротко, с пояснением)
- Компактные волноводные изгибы с низкими потерями: GRIN «перемещает» ветвь моды, уменьшая излучение при малом радиусе.
- Интегрированные линзы и фокусаторы (на чипе): фокусировка/коллимирование без выпуклой поверхности; coupling к оптическому волокну.
- Спот-сайз конвертеры / переходы мод: плавное изменение эффективного индекса для минимизации обратного рассеяния.
- Буферы/ротация пучка и стирирование (beam steering): управляемый градиент отклоняет пучок в нужном направлении.
- Мультиплексоры/демультиплексоры и режимовые преобразователи: используя профиль для селективного фокусирования/переключения мод.
- Дисперсионное инженерирование: профиль меняет фазовую скорость и дисперсию мод, полезно для компенсации/управления задержками.
- Компактные интегрированные камеры/имажеры и on‑chip оптические элементы (Luneburg‑линзы и т.п.) для пакетной обработки сигнала.
Практические замечания
- Реализация: градиент достигается изменением состава материала, пористости, толщины слоя, заполнением и т.п.; точность профиля критична для производительности.
- Рассеяние и тканевое поглощение ограничивают длину и крутизну градиента; для сильных силовых плотностей важно учитывать нелинейность.
- Модели: для проектирования используют уравнение луча, численные методы (FDTD, BPM, Eigenmode) и оптимизацию профиля.
Вывод: GRIN-линза даёт возможность управлять траекторией света внутри плоской фотоники без грубых геометрических интерфейсов — это инструмент для компактных изгибов, фокусировки, сопряжения и управления модами на чипе.