Кратко и по делу.
Основная модель: одномерное нелинейно-дисперсионное уравнение (NLSE)
$$i\frac{\partial A}{\partial z}-\frac{{\beta }_2}{2}\frac{{\partial }^{2}A}{\partial t^2}+\gamma |A{|}^{2}A=0,$$ где $A(z,t)$ — огибающая импульса, ${\beta }_2$ — коэффициент ГВД (GVD), $\gamma$ — нелинейный коэффициент Керра.
Влияние дисперсии и нелинейности
- Дисперсия (второго порядка) растягивает/сжимает импульс во времени: длина набега дисперсии
$$L_D=\frac{T_0^2}{|{\beta }_2|},$$ где $T_0$ — характерная длительность импульса.
- Нелинейность Керра даёт фазовую модуляцию ($\Delta \varphi \propto \gamma P_{0}z$) и приводит к самофокусировке в частотной области; нелинейная длина
$$L_{NL}=\frac{1}{\gamma P_0},$$ где $P_0$ — пик мощности.
- Баланс этих эффектов задаёт порядок солитона
$$N^2=\frac{L_D}{L_{NL}}=\frac{\gamma P_0{T}_0^2}{|{\beta }_2|}.$$ При $N=1$ достигается фундаментальный (устойчивый) солитон: дисперсия и нелинейность точно компенсируют друг друга.
Условия формирования устойчивых (ярких) солитонов
- Аномальная дисперсия: ${\beta }_2<0$ (в принятой форме NLSE) — необходимо для ярких солитонов.
- Солитонный порядок $N\approx 1$. Для фундаментального солитона связь параметров
$$P_0=\frac{|{\beta }_2|}{\gamma T_0^2}.$$ Форма решения:
\[
A(z,t)=\sqrt{P_0}\,\sech\!\Big(\frac{t}{T_0}\Big)\exp\!\Big(i\frac{\gamma P_0 z}{2}\Big).
\]
- Низкие потери и слабое влияние возмущений (третьего порядка дисперсии ${\beta }_3$, Рамановского рассеяния, самостистания и т.д.). Характерная длина возмущений должна быть длиннее длины распространения:
$$L_{\text{pert}}\gg L\text{(длина волокна)}.$$
Поведение при отклонениях
- $N>1$ — высшие солитоны: периодические «дыхания» с периодом
$$Z_0=\frac{\pi }{2}{L}_D,$$ и чувствительны к возмущениям: фиссия солитона, генерация дисперсивных волн, суперконтинуум.
- Наличие ${\beta }_3$, Рамана, самостистания приводит к смещению центральной частоты, излучению дисперсивных волн и потере устойчивости.
- При нормальной дисперсии (${\beta }_2>0$) возможны тёмные/серые солитоны на фоне НВЧ-несущей (форма $\tanh$), но они требуют непрерывного фона и фазового скачка.
Практические требования для стабильной передачи солитонов
- Настройка $P_0$, $T_0$ и ${\beta }_2$ так, чтобы $N\approx 1$.
- Минимизация ${\beta }_3$, потерь и нерегулярностей волокна; компенсация задержек/усиление с контролем фазы при необходимости.
- Для долгой дистанции — периодическая компенсация потерь и управление возмущениями (пайплайны усилителей, фильтрация, управление дисперсией).
Итого: устойчивый оптический солитон формируется при точном балансе дисперсии второго порядка и ненелинейной фазы Керра (анормальная GVD для ярких солитонов) с солитонным порядком $N=1$. Все отклоняющие эффекты (${\beta }_3$, Раман, потери и др.) нарушают устойчивость и приводят к дыханию, фиссии или излучению.