Кратко — модель, оптимизация, результат и компромисс.
1) Модель (минимально необходимая постановка)
- Два резервуара: начальные температуры $T_{h0}>T_{c0}$ и удельные теплоёмкости $C_h,C_c$.
- Тепловой двигатель эндореверсивен (внутри обратим), контакты описываются законом теплопередачи (линейно):
${\dot{Q}}_h=K_h(T_h(t)-T_{hw}(t)),{\dot{Q}}_c=K_c(T_{cw}(t)-T_c(t))$.
- Внутренняя обратимость даёт связь потоков: $\frac{{\dot{Q}}_h}{T_{hw}}=\frac{{\dot{Q}}_c}{T_{cw}}$.
- Температуры резервуаров меняются по теплоёмности:
${\dot{T}}_h=-\frac{{\dot{Q}}_h}{C_h},{\dot{T}}_c=+\frac{{\dot{Q}}_c}{C_c}$.
- Мощность в момент времени: $P(t)={\dot{Q}}_h(1-\frac{T_{cw}}{T_{hw}})$.
2) Как оптимизировать для максимальной мощности
- Общая идея: в каждом момент оптимально выбирать управляющие переменные $T_{hw}(t),T_{cw}(t)$ так, чтобы максимизировать мгновенную мощность $P(t)$ при данных $T_h(t),T_c(t)$. Затем интегрировать во времени, пока резервуары не исчерпаются. Формально это задача управления, решаемая методом Понтрягина; для линейной теплопередачи решение даёт простую условную стратегию: поддерживать внутренние температуры (или их отношение) постоянными на интервале и выбирать их из условия максимума P при данных $T_h,T_c$.
- Частный, хорошо известный случай — симметричные проводимости $K_h=K_c$ и фиксированные резервуарные температуры: при стационарном режиме оптимум по $T_{hw},T_{cw}$ даёт Curzon–Ahlborn эффективность
$${\eta }_{CA}=1-\sqrt{\frac{T_c}{T_h}}.$$ То есть внутренние температуры выбираются так, что эффективность при максимальной мощности равна ${\eta }_{CA}$.
- Для конечных теплоёмкостей резервуаров оптимальное управление фактически сводится к последовательному применению локально оптимальных внутренних температур (решение «оптимум по моменту времени»), затем интегрированию мощности по времени с учётом убывающих $T_h(t),T_c(t)$.
3) Формальные условия стационарного оптимума (резюме)
- Из вариационного условия (оптимизация по $T_{hw},T_{cw}$) получаем систему алгебраических уравнений:
$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial P}{\partial T_{hw}}=0,\\ \frac{\partial P}{\partial T_{cw}}=0,\end{array}\text{где}P=K_h(T_h-T_{hw})(1-\frac{T_{cw}}{T_{hw}})\text{и}\frac{K_h(T_h-T_{hw})}{T_{hw}}=\frac{K_c(T_{cw}-T_c)}{T_{cw}}.$$ Решение даёт оптимальные внутренние температуры как функции $T_h,T_c,K_h,K_c$.
4) Компромисс мощность ⇄ КПД
- Общий принцип: максимум мощности достигается при существенной генерируемой необратимости (большие перепады температур между резервуаром и рабочим телом), поэтому КПД при максимальной мощности меньше карно:
$${\eta }_{MP}<{\eta }_C=1-\frac{T_c}{T_h}.$$ - В предельном симметричном случае получают Curzon–Ahlborn:
${\eta }_{MP}={\eta }_{CA}=1-\sqrt{T_c/T_h}$. Для малых ${\eta }_C$ это даёт универсальную первую аппроксимацию
$${\eta }_{MP}\approx \frac{{\eta }_C}{2}+O({\eta }_C^2).$$ - Для конечных теплоёмкостей точное значение ${\eta }_{MP}$ зависит от соотношения $C_h/C_c$ и от $K_h/K_c$: асимметрия смещает оптимум, и эффективность при максимуме может быть выше или ниже ${\eta }_{CA}$. При стремлении к обратимому (медленному) режиму мощность → 0, КПД → ${\eta }_C$.
5) Практические рекомендации
- Если цель — максимальная мощность за конечное время до выравнивания резервуаров — в каждый момент используйте локально оптимальные $T_{hw},T_{cw}$ (решение выше) и распределяйте контактные времена согласно проводимостям и теплоёмкостям.
- Если важен КПД — уменьшайте теплоперепад (работайте медленнее), приближаясь к обратимому циклу; при этом мощность падает примерно обратно пропорционально времени цикла.
- Для количественных оптимальных значений ($T_{hw}(t),T_{cw}(t)$, времена контактов) решите систему ОДУ и алгебраических условий или примените численную оптимизацию (Pontryagin), задав конкретные $C_h,C_c,K_h,K_c,T_{h0},T_{c0}$.
Коротко: оптимизация сводится к локальному максимуму мгновенной мощности при каждой паре температур резервуаров (эндореверсивная модель) — в симметричном пределе это даёт Curzon–Ahlborn эффективность ${\eta }_{CA}=1-\sqrt{T_c/T_h}$. Компромисс: больше мощности — меньше КПД; КПД при максимальной мощности всегда меньше Карно и приближается к нему только при бесконечно медленной (нулевой мощности) работе.