Сила взаимодействия. Магнитное поле от длинного прямого проводника на расстоянии $r$: $B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$. Поле от второго провода на первом (расстояние между осями $d$) равно $B_2=\frac{{\mu }_0{I}_2}{2\pi d}$. Сила на длину $L$ первого провода равна $F=I_{1}L{B}_2$, поэтому по модулю
$$\boxed{\frac{F}{L}=\frac{{\mu }_0{I}_1{I}_2}{2\pi d}.}$$ Для противоположных токов сила направлена от другого провода (отталкивание).
Распределение магнитного поля.
- Вблизи каждого провода поле циркулирует вокруг него (амплитуда убывает как $1/r$): $B(r)=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$, направление по правилу правого винта (азимутальное).
- Поле суммируется наложением вкладов двух проводов. Для равных по модулю противоположных токов в области между проводами векторы полей складываются, поэтому поле между проводами усилено; например, в середине между осями ($r=d/2$ от каждого) получается
$$B_{\text{mid}}=\frac{{\mu }_{0}I}{\pi d}.$$ На внешней стороне проводов вкладов противоположных направлений и они частично компенсируют друг друга.
- На больших расстояниях $R\gg d$ суммарное поле двух противоположных бесконечных токов убывает быстрее, чем $1/R$: ведущий член мультипольного разложения дает поведение подобное диполю в двумерной задаче, т.е. масштабно
$$B(R)\propto \frac{{\mu }_{0}Id}{R^2},$$ (поля сильно компенсируются, поскольку общий ток равен нулю).
Кратко: сила на единицу длины ${\mu }_0{I}_1{I}_2/(2\pi d)$, противоположные токи отталкиваются; рядом с каждым проводом поле азимутальное $\propto 1/r$, между проводами поле усилено, а на больших расстояниях поле быстро убывает (приблизительно как $1/R^2$).