Кратко — смысл и примеры.
1) Формулировка и смысл.
- Принцип: невозмжно одновременно произвольно точно знать координату и соответствующий импульс. В математическом виде для одной оси:
$\Delta x\Delta p_x\ge \frac{\hslash }{2}$.
- Интерпретация: если частица (или фотон) локализована в пространстве с погрешностью $\Delta x$, то её компонента импульса перпендикулярно этой локализации имеет непременную неопределённость $\Delta p_x$. Эта неопределённость импульса даёт угловое расходимость волнового вектора и, следовательно, предел на то, насколько мелкие детали можно отличить по направлению/пространству.
2) Как это даёт предел разрешающей способности (связь с дифракцией).
- Для фотона $p=h/\lambda$. Если локализовать его в поперечном размере $\Delta x$, то из $\Delta x\Delta p_{\perp }\gtrsim \hslash /2$ получаем угловую ширину расходимости
$\Delta \theta \sim \frac{\Delta p_{\perp }}{p}\gtrsim \frac{\hslash }{2p\Delta x}=\frac{\lambda }{4\pi \Delta x}$.
Это эквивалентно дифракционному ограничению: объектив с конечным апертурным углом может пропускать только гармоники с ограниченным углом, поэтому минимальная различимая деталь порядка
$d\sim \frac{\lambda }{2\mathrm{NA}}$,
где $\mathrm{NA}=\sin {\theta }_{\max }$. Это — формула Аббе, вытекающая из волновой (и через неё — квантовой) природы света.
3) Конкретные примеры, где принцип ограничивает современные микроскопы.
- Оптическая микроскопия (видимый свет). Для $\lambda \approx 500\mathrm{nm}$ и $\mathrm{NA}\approx 1$:
$d\sim \frac{500\mathrm{nm}}{2}\approx 250\mathrm{nm}$.
Попытка локализовать источник света сильнее приводит к большой неопределённости направления (дифракции) — классический предел разрешения.
- Суперразрешающие методы (PALM/STORM, STED). Они обходят классический предел Аббе, но в конечном счёте ограничены статистикой фотонов и квантовыми эффектами: точность локализации отдельного эмиттера ~$\sigma /\sqrt{N}$ (где $N$ — число собранных фотонов). Если стремиться к бесконечно малой локализации, растёт импульс/отдача фотонов и возникает шум/воздействие на объект (рекойл) — фундаментальный предел по принципу неопределённости и квантовой статистике.
- Электронная микроскопия. Электроны имеют короткую де‑Бройлеву длину волны $\lambda =h/p$ (напр., при $100\mathrm{keV}$ $\lambda \sim 3.7\mathrm{pm}$), поэтому фундаментальный предел по $\Delta x\Delta p$ очень мал по сравнению с оптикой. Тем не менее для сильно сфокусированных электронных пучков неопределённость импульса (угловая расходимость), яркость и эмиттанс пучка (производная $\Delta x\Delta p$) задают минимальный размер фокуса и разрешение. На практике добавляются аберрации линз и рассеяние в образце, но основа — всё та же соотношение неопределённости.
- Ближнее поле (SNOM) и плазмонные методы. Они используют несвободные (эвенесцентные) волны и могут преодолеть дальнепольную дифракцию, но локализация поля на масштабе $\Delta x$ сопровождается большой пространственной частотной шириной (высокие $k$), то есть большой $\Delta p$ — опять проявление принципа неопределённости, и это накладывает ограничения на проникновение, эффективность и шум.
4) Вывод.
- Принцип Гейзенберга — фундаментальное объяснение, почему волновая природа (дифракция, угловая расходимость, флуктуации импульса) ставит нижний предел для разрешения. В оптике он даёт Аббевский предел; в электронной микроскопии тот же принцип проявляется через эмиттанс и угловую неопределённость; в методах сверхразрешения предел проявляется через квантовую статистику фотонов и отдачу (recoil).