Коротко и по делу. Возьмем диск радиуса $R$, момент инерции $I$ относительно оси, угловая скорость $\omega$. Грузик массы $m$ находится на радиусе $r$ (горизонтальная плоскость, ось вертикальна). Учитываем трение между грузиком и диском (коэффициенты ${\mu }_s,{\mu }_k$) и реальное распределение массы диска (через $I$).
1) Условия прилипания / проскальзывания на поверхности:
- Требуемая центростремительная сила $m{\omega }^{2}r$. Прилипание возможно если
$$m{\omega }^{2}r\le {\mu }_{s}mg\Rightarrow {\omega }^{2}r\le {\mu }_{s}g.$$ - Если условие нарушено — грузик скользит, на него действует кинетическая сила трения $f={\mu }_{k}mg$ в касательном направлении.
2) Скорость грузика в момент отрыва (инертная система):
- Если грузик "прилип" и затем бросается относительно диска с относительной скоростью $\mathbf{u}$, его начальная инертная скорость
$${\mathbf{v}}_0=r\omega {\hat{e}}_{\theta }+\mathbf{u}.$$ - Если он скользил, то касательное торможение даёт изменение скорости перед отрывом: прикинь касательное ускорение $a_{\theta }=-{\mu }_{k}g\mathrm{sgn}(v_{\mathrm{rel}})$ и интегрируй по времени скольжения, чтобы получить $v_{\theta }$ в момент отрыва.
3) Траектория после отделения (инерциальная система), без сопротивления воздуха:
$$\mathbf{r}(t)={\mathbf{r}}_0+{\mathbf{v}}_{0}t+\frac{1}{2}\mathbf{g}{t}^2,$$ где $\mathbf{g}=(0,0,-g)$. То есть форма траектории полностью определяется начальной скоростью ${\mathbf{v}}_0$ (составной из скорости поверхности диска и относительной скорости броска, скорректированной трением до отрыва).
4) Взаимодействие с диском (угловой момент и энергия):
- При отсутствии внешних моментов суммарный момент сохраняется. Если до отрыва грузик вращается со скоростью диска, начальный суммарный момент
$$L_i=(I+m{r}^2){\omega }_i.$$ Если после отрыва грузик имеет касательную скорость $v_{m,\theta }$, то
$$I{\omega }_f+mr{v}_{m,\theta }=(I+m{r}^2){\omega }_i,$$ откуда
$${\omega }_f=\frac{(I+m{r}^2){\omega }_i-mr{v}_{m,\theta }}{I}.$$ Это показывает: больше $I$ (масса диска сосредоточена дальше от оси) — меньше изменение $\omega$ при том же импульсе от грузика. Энергия при трении, как правило, не сохраняется — часть энергии рассеивается.
5) Роль реального распределения массы:
- Момент инерции $I$ зависит от распределения: для ободка $I=M{R}^2$, для равномерного диска $I=\frac{1}{2}M{R}^2$. При прочих равных, больший $I$ снижает изменение угловой скорости диска при передаче импульса от/к грузу и, следовательно, меньше меняет касательную скорость поверхности и начальную скорость грузика.
6) Влияние сопротивления воздуха (при необходимости):
- Для учёта аэродинамики решай дифференциальное уравнение
$$m\dot{\mathbf{v}}=m\mathbf{g}-c_d|\mathbf{v}|\mathbf{v}$$ (квадратичное сопротивление) или линейный вариант $-c\mathbf{v}$. Это изменит траекторию (затухание горизонтальной скорости).
Краткий вывод:
- Трение до отрыва изменяет касательную составляющую скорости грузика (через ограничение статического трения или торможение кинетическим трением), следовательно изменяет траекторию и время полёта.
- Реальное распределение массы диска (через $I$) определяет, насколько сильно диск изменит свою $\omega$ при отдаче/приёме импульса, а значит косвенно влияет на начальную скорость грузика.
- Для количественного результата: вычислить режим (прилип/скользит), интегрировать касательное ускорение до момента отрыва, подставить полученную ${\mathbf{v}}_0$ в уравнение движения и при необходимости использовать сохранение момента по формулам выше.