Кратко и по существу.
1) Линейная система и резонанс
- Для малого отклонения маятников (длины $l$, масса $m$, гравитация $g$, жёсткость связи $k$) угловые перемещения ${\theta }_1,{\theta }_2$ удовлетворяют (линеаризация)
$$m{l}^2{\ddot{\theta }}_1+mgl{\theta }_1+k{l}^2({\theta }_1-{\theta }_2)=F_1(t)l,$$ $$m{l}^2{\ddot{\theta }}_2+mgl{\theta }_2+k{l}^2({\theta }_2-{\theta }_1)=F_2(t)l,$$ или делением на $m{l}^2$ $${\ddot{\theta }}_1+{\omega }_0^2{\theta }_1+\frac{k}{m}({\theta }_1-{\theta }_2)=\frac{F_1(t)}{ml},{\ddot{\theta }}_2+{\omega }_0^2{\theta }_2+\frac{k}{m}({\theta }_2-{\theta }_1)=\frac{F_2(t)}{ml},$$ где ${\omega }_0^2=g/l$.
- Собственные (нормальные) моды берутся по виду ${\theta }_i\propto e^{i\omega t}$. Для незатухающих свободных колебаний получаем две частоты
$${\omega }_{+}^2={\omega }_0^2(\text{синфазная}),{\omega }_{-}^2={\omega }_0^2+\frac{2k}{m}(\text{противофазная}).$$
- Резонанс: при внешней периодической побудительной силе частоты совпадающей с одной из ${\omega }_{\pm }$ ответ амплитуды резко возрастает (в идеальной бездиссипативной системе — неограниченно). При слабом связывании наблюдаются биения (перекладывание энергии между маятниками) — это следствие близких мод и их интерференции.
2) Введение демпфирования (линейного) — кратко
- Линейное демпфирование $c\dot{\theta }$ даёт комплексные собственные числа с отрицательной вещественной частью, резонансные пики сглаживаются, амплитуды ограничены; устойчивость режимов повышается: все малые возмущения затухают.
3) Нелинейная демпирующая сила — формы и влияние
- Часто моделируют как амплитудозависящее трение, например
$$F_d=-c_1\dot{\theta }-c_3\dot{\theta }|\dot{\theta }|\text{или}{F}_d=-\mu (1-\beta {\theta }^2)\dot{\theta }$$ (второй пример — тип van\,der\,Pol: при малых амплитудах эффективное отрицательное демпфирование, при больших — положительное).
Влияние на резонанс и устойчивость режимов:
- Амплитудное ограничение: нелинейный терм $-c_3\dot{\theta }|\dot{\theta }|$ усиливает затухание при больших скоростях, поэтому резонансный пик «срезается», максимальная амплитуда ограничена (снижается риск разгона).
- Сдвиг и асимметрия резонансной кривой: хотя чисто демпфирующее нелинейное слагаемое напрямую не даёт консервативного сдвига частоты, в сочетании с нелинейной жёсткостью или за счёт нелинейных фазовых сдвигов эффективная резонансная частота становится амплитудозависимой; наблюдаются прыжки амплитуды и гистерезис при плавном изменении частоты возбуждения.
- Изменение устойчивости мод: стабильность нормальных мод определяется линерализацией вокруг них; нелинейное демпфирование даёт амплитудозависимые поправки к собственным числам — некоторые моды могут стабилизироваться (если демпфирование растёт с амплитудой), другие — дестабилизироваться (например, van\,der\,Pol-тип даёт самовозбуждение и предельный цикл). Возможны:
- суперкритическое/субкритическое бифуркации предельных циклов,
- синхронизация или селекция мод (одна мода затухает сильнее, энергия локализуется в другой),
- возникновение внутренних резонансов и энергопереноса между модами.
- Неравномерное демпфирование между маятниками нарушает симметрию мод и может привести к локализации колебаний (энергия остаётся в одном маятнике).
4) Как формально анализируют
- Малые возмущения: линерализация и анализ собственных чисел; нелинейность учитывают как коррекции — метод Крылова–Боголюбова–Метода усреднения.
- Большие амплитуды: численный анализ, вычисление предельных циклов, их устойчивости и возможных бифуркаций (например, с помощью continuation).
Короткий итог:
- Резонанс в системе связанных маятников — совпадение вынуждающей частоты с одной из собственных ${\omega }_{\pm }$, даёт крупный отклик и обмен энергии между маятниками.
- Нелинейное демпфирование обычно ограничивает амплитуду резонанса, изменяет устойчивость мод (может стабилизировать или, при самовозбуждающем характере, дестабилизировать), вызывает амплитудозависимые эффекты (гистерезис, прыжки, синхронизацию, локализацию).