Кратко и по сути.
Как изменяется направление луча внутри градиентного материала
- Внутри непрерывно изменяющегося показателя преломления $n(\mathbf{r})$ нет единого «скачка» угла — луч плавно искривляется под действием градиента. Его траектория определяется уравнением геометрической оптики (уравнение для луча):
$$\frac{d}{ds}\left(n\frac{d\mathbf{r}}{ds}\right)=\nabla n,$$ где $\mathbf{r}(s)$ — координата по дуге, $s$ — длина дуги. Это показывает, что изменение направления пропорционально градиенту $\nabla n$.
- В сферически симметричном случае сохраняется аналог «углового импульса»:
$$n(r)r\sin \theta =\text{const},$$ где $\theta$ — угол между лучом и радиус-вектором. Это ограничивает возможные траектории и показывает редирекцию лучей к или от центра в зависимости от профиля $n(r)$.
Поведение угла на границе и закон отражения/преломления
- На гладкой внешней границе выполняется закон отражения: угол отражения равен углу падения $({\theta }_i={\theta }_r)$.
- На каждой локальной «малой» границе/поперечном сечении преломление подчиняется закону Снелла в локальном виде:
$$n_1\sin {\theta }_1=n_2\sin {\theta }_2,$$ но в непрерывном градиенте это реализуется как интегрируемое накопление малых преломлений — поэтому нет резкого скачка направления внутри объёма, а есть плавная криволинейная траектория.
- Полное внутреннее отражение может возникнуть, если локальный угол падения на внешнюю поверхность превышает критический, заданный отношением показателей.
Примеры профилей и фокусировка
- Параболический профиль (приближённо часто используется в GRIN-стержнях):
$$n(r)=n_0\left(1-\frac{1}{2}g{r}^2\right).$$ В параксиальном приближении лучи выполняют гармонические колебания по оси:
$$\frac{d^{2}r}{d{z}^2}+gr=0,$$ период траектории (pitch) $P=\frac{2\pi }{\sqrt{g}}$. Линза длиной кварт-питча $L=P/4=\frac{\pi }{2\sqrt{g}}$ фокусирует коллимированный пучок в точку на выходной поверхности — этим пользуются GRIN-линзы для компактной фокусировки и сопряжения с волокном.
- Специальные сферические профили дают идеальные свойства:
- Luneburg-линза:
$$n(r)=\sqrt{2-{\left(\frac{r}{R}\right)}^2},$$ фокусирует параллельные лучи в точку на противоположной поверхности.
- Maxwell fish-eye: даёт теоретически совершенное изображение между двумя точками при определённом профиле (формула аналогична и зависит от масштаба).
Практические применения
- Компактные объективы и линзы для волоконной оптики (GRIN-стержни для ввода/вывода света в волокна, микрообъективы для модулей связи).
- Коллимация и фокусировка в микросистемах и эндоскопии (малый размер, коррекция аберраций).
- Антенны и радиолокация (градиентные «линзы» для микроволн, Luneburg-линзы).
- Формирование и управление пучком в интегральной фотонике, коррекция сферических аберраций.
- Оптические элементы для имиджинга с особыми свойствами (идеальное фокусирование/имиджирование в специальных профилях), а также элементы для «клока» и управления траекториями света в метаматериалах.
Краткое резюме: градиентный индекс вызывает плавное искривление луча по уравнению $\frac{d}{ds}(nd\mathbf{r}/ds)=\nabla n$; угол отражения на внешней границе подчинён обычному закону отражения, а фокусировка определяется конкретным профилем $n(r)$ (параболический профиль даёт синусоидальные траектории и управляемый фокус через длину стержня; специальные профили — Luneburg, Maxwell — дают полезные идеальные свойства).