Коротко: в статистической физике связь «рост энтропии ⇄ стрела времени» основана на том, что для макроскопической системы большинство микро-состояний, совместимых с заданными макропараметрами, лежат в более «обычных» макросостояниях с большим фазовым объёмом, поэтому при типичной динамике система с большой вероятностью эволюционирует в стороны большего фазового объёма — то есть энтропия (в макроскопическом, грубозернистом смысле) растёт. Ниже — поддерживающие аргументы и возражения, с нужными формулами.
Поддерживающие аргументы
- Определения энтропии:
- Больцмана: $S_B=k_B\ln \Omega$, где $\Omega$ — объём фазового пространства макросостояния. Рост $\Omega$ → рост $S_B$.
- Гиббс: $S_G=-k_B\int \rho (\Gamma )\ln \rho (\Gamma )d\Gamma$. При точной (тонкой) плотности $\rho$ и гамильтоновой эволюции $S_G$ сохраняется (Лиувилль).
- Лиувилль и тонкая/грубая энтропия: по Лиувиллю $\frac{d\rho }{dt}=0$, значит тонкая $S_G$ константна; но если ввести грубую зернистость (coarse-graining) и усреднение по макропараметрам, грубая энтропия обычно возрастает — это формализует наблюдаемую необратимость.
- Теорема Больцмана (H‑теорема) для разреженного газа: определяя $H=\int f\ln f{d}^{3}r{d}^{3}p$, при допустимых приближениях (столкновительный интеграл, предпосылка «молекулярного хаоса» — Stosszahlansatz) получается $\dot{H}\le 0$, т.е. $S\propto -H$ возрастает. H‑теорема показывает механизм направления времени в кинетическом приближении.
- Аргумент типичности: если начальное состояние имеет очень малую энтропию (малый фазовый объём), то подавляющее большинство совместимых с ним микро-состояний со временем «рассыпается» по огромному числу микро-состояний более высокой энтропии; поэтому рост энтропии чрезвычайно вероятен.
- Теории флуктуаций и неравенства: точные отношения (Crooks, Jarzynski, детальное флуктуационное соотношение) описывают вероятность редких «обратных» флуктуаций. Пример: Ярнски $⟨e^{-\beta W}⟩=e^{-\beta \Delta F}$; детальное ФТ: $\frac{P(\sigma )}{P(-\sigma )}=e^{\sigma }$ (здесь $\sigma$ — безразмерное производство энтропии). Они показывают, что отрицательные производства энтропии возможны, но экспоненциально подавлены.
Ключевая дополнительная предпосылка — начальное условие
- Чтобы статистика давала стойкий рост энтропии, требуется низкоэнтропийное начальное условие Вселенной («Past Hypothesis»): начальное состояние с крайне малым $S$. Без такой предпосылки аргументы типичности не устанавливают однонаправленность времени.
Контраргументы и ограничивающие замечания
- Микроскопическая обратимость (Loschmidt paradox): микроскопические уравнения (например, классическая механика, квантовая механика) временно симметричны. Если обратить скорости всех частиц, система вернётся в исходное состояние → почему нет уменьшения $S$? Ответ: предпосылка «молекулярного хаоса» не симметрична по времени; обратные траектории существуют, но чрезвычайно нетипичны.
- Poincaré‑рецидивы: для конечной энергоограниченной системы фазовый поток возвращается близко к начальному состоянию через конечное (хотя обычно астрономически большое) время. Следовательно строгая монотонность невозможна на бесконечной временной оси.
- Грубая зернистость и субъективность: рост «энтропии» часто основан на выборе макропеременных и процедуре усреднения; разные разбиения фазового пространства дают разные поведения энтропии — часть философов и физиков считает это признаком относительности стрелы времени к наблюдателю.
- Определения энтропии не единственны: Gibbs vs Boltzmann приводят к разным свойствам (Gibbs константен при точной эволюции; Boltzmann меняется при переходе между макросостояниями).
- Малые системы и флуктуации: в малых системах отрицательные флуктуации производства энтропии не редки, и понятие «стрелы времени» менее определённо.
- Квантовые тонкости: в закрытой квантовой системе тонкая энтропия фон-Неймана $S_{vN}=-\mathrm{Tr}\rho \ln \rho$ также сохраняется при унитарной эволюции; увеличение «термодинамической» энтропии связано с декогеренцией и переходом к смешанным состояниям при отсечении среды.
Короткое заключение
- Рост энтропии даёт практический маркер стрелы времени в макроскопике: большинство реалистичных начальных состояний с малой энтропией эволюционируют к состояниям с большей энтропией. Статфизика поддерживает это через понятия фазового объёма, H‑теорему (с доп. предпосылками), аргумент типичности и флуктуационные теоремы.
- Но фундаментально необратимость не вытекает из чисто симметричных микродинамик без дополнительной предпосылки о низкоэнтропийном начале и выборе грубой дескрипции; возвращения и обратные траектории возможны, но чрезвычайно маловероятны и обычно несущественны для макроскопической физики.