Коротко: изотопы выбирают по их полу‑распаду и практическим свойствам (полупериод, наличие в объекте, малое постороннее вмешательство, удобство измерения). На точность влияют физические (систематические) и статистические погрешности; их можно уменьшать методическими и инструментальными мерами. Ниже — сжато, с формулами и конкретными способами минимизации.
Почему выбирают конкретные изотопы
- подходящий полупериод: полупериод должен быть соизмерим с возрастом цели (напр., ${}^{14}C$ — ~5730 лет для археологии; ${}^{238}U$-${}^{206}Pb$ — миллионы–миллиарды лет для древних пород);
- достаточная исходная концентрация и различимость дочерних/родительских изотопов;
- способность образца оставаться «закрытой системой» (минимум миграции изотопов);
- наличие хорошо калиброванных стандартов и поправок (напр., IntCal для ${}^{14}C$).
Основная теория (формулы)
- закон распада: $$N(t)=N_0{e}^{-\lambda t}.$$
- возраст по активности/числу ядер: $$t=\frac{1}{\lambda }\ln \frac{N_0}{N}.$$
- для радиоуглерода часто используют отношение ${}^{14}C{/}^{12}C$ и выражают возраст как $$t_{14C}=-\frac{1}{{\lambda }_{14}}\ln \frac{R}{R_0}.$$
Статистические погрешности и их оценка
- счётная статистика (пауассоновская): $${\sigma }_N=\sqrt{N}.$$ Относительная погрешность: $$\frac{{\sigma }_N}{N}=\frac{1}{\sqrt{N}}.$$ Для измерений методом счёта (β‑излучения) увеличение времени измерения или объёма образца снижает эту ошибку.
- при распространении погрешностей для возраста: $${\sigma }_t=\sqrt{{\left(\frac{\partial t}{\partial N}{\sigma }_N\right)}^2+{\left(\frac{\partial t}{\partial N_0}{\sigma }_{N_0}\right)}^2+{\left(\frac{\partial t}{\partial \lambda }{\sigma }_{\lambda }\right)}^2}$$ с производными $\frac{\partial t}{\partial N}=-\frac{1}{\lambda N}$, $\frac{\partial t}{\partial N_0}=\frac{1}{\lambda N_0}$, $\frac{\partial t}{\partial \lambda }=-\frac{1}{{\lambda }^2}\ln \frac{N_0}{N}$. Итог:
$${\sigma }_t=\sqrt{{\left(\frac{{\sigma }_N}{\lambda N}\right)}^2+{\left(\frac{{\sigma }_{N_0}}{\lambda N_0}\right)}^2+{\left(\frac{{\sigma }_{\lambda }}{{\lambda }^2}\ln \frac{N_0}{N}\right)}^2}.$$
Физические (систематические) источники ошибок
- неопределённость константы распада $\lambda$ (важна для очень больших возрастов);
- начальный состав / начальный вклад дочернего изотопа (например, начальный Pb в урани-оловянных системах);
- обмен/потери/присоединение изотопов (открытая система): вымывание, диффузия;
- контаминция современным углеродом (для ${}^{14}C$) или атмосферным аргоном (для K–Ar);
- изменения скорости образования изотопа (для ${}^{14}C$: космическая радиация, магнитное поле, климат) — ведут к необходимости калибровочных кривых;
- фракционирование изотопов при обработке образца и при измерении;
- изобарные/молекулярные помехи в масс‑спектрометрии;
- калибровка и стандарты (нестабильность стандартов приводит к смещению результатов).
Как минимизировать ошибки (практика)
- выбирать подходящую систему по полупериоду и химии (для предполагаемого возраста и геологии);
- предварительная химическая обработка: очистка, удаление карбонатов/ органики (для ${}^{14}C$: A/B/A, скрытая органика), селективное выделение минералов (для U–Pb, K–Ar);
- использовать изохронные методы (Rb–Sr, Sm–Nd, Pb–Pb) или Concordia (U–Pb) для устранения предположения о начальном составе;
- шаговое нагревание / шаговая дегазация (Ar–Ar) для выявления и удаления компоненты с посторонним argon;
- контроль фонового уровня и пустых образцов (blanks), измерение фоновых вкладов и вычитание;
- использование AMS для малых образцов и для снижения погрешности от фонового шума;
- использование высокоточного MC‑ICP‑MS и применение double‑spike для коррекции фракционирования;
- многократные измерения, анализ реплик и статистическая обработка (mean, bootstrap, Monte‑Carlo) для надёжной оценки случайной составляющей;
- применение калибровочных кривых (напр., IntCal для ${}^{14}C$) и моделей резервоpных эффектов (морские/озёрные резервоары);
- контроль геологического контекста (избегать смешанных образцов, выбирать закрытые минералы, кристаллы без трещин);
- совместное использование нескольких радиометрических систем для перекрёстной проверки.
Коротко о величине вклада разных типов ошибок
- для молодых образцов ($<$ несколькo т.л.): доминирует контаминция и резервоpные эффекты;
- для средних возрастов (тысячи–десятки тысяч лет): калибровочные кривые и счётная статистика;
- для очень больших возрастов (млн–млрд лет): неопределённость $\lambda$, начальные соотношения и открытая система.
Заключение (практический рецепт)
- выбор правильной изотопной системы и тщательная пробываютельная подготовка + стандарты/blanks + многократные/альтернативные методы + корректная статистическая обработка дают наилучшую точность и надёжность датировок.