Кратко: гравитационный «обвод» (gravity assist) не даёт «волшебного» топлива — он перераспределяет кинетическую энергию и импульс между планетой и аппаратом. В планетной СК (связанной с планетой) асимптотическая скорость по модулю не меняется, меняется только направление; в гелиоцентрической СК вектор скорости аппарата складывается с орбитальной скоростью планеты, поэтому изменение направления в планетной СК даёт изменение скорости и энергии в гелиоцентрической СК.
Основные формулы и пояснения:
- В планетной СК модуль асимптотической скорости сохраняется:
$$|{\mathbf{v}}_{\infty ,\text{in}}|=|{\mathbf{v}}_{\infty ,\text{out}}|=v_{\infty }.$$ - В гелиоцентрической СК:
$${\mathbf{v}}_i={\mathbf{V}}_p+{\mathbf{v}}_{\infty ,\text{in}},{\mathbf{v}}_f={\mathbf{V}}_p+{\mathbf{v}}_{\infty ,\text{out}},$$ отсюда изменение вектора скорости:
$$\Delta \mathbf{v}={\mathbf{v}}_f-{\mathbf{v}}_i={\mathbf{v}}_{\infty ,\text{out}}-{\mathbf{v}}_{\infty ,\text{in}}.$$ - Изменение удельной энергии ($ϵ=\frac{1}{2}{v}^2-{\mu }_{\odot }/r$, если интересует только кинетическая часть у далёкой орбиты):
$$\Delta ϵ=\frac{1}{2}(v_f^2-v_i^2)=V_p{v}_{\infty }(\cos (\beta -\delta )-\cos \beta ),$$ где $V_p$ — скорость планеты в гелиоцентр. Сдвиг углов: $\beta$ — начальный угол между ${\mathbf{v}}_{\infty ,\text{in}}$ и ${\mathbf{V}}_p$, $\delta$ — угол отклонения при пролёте. Частный полезный случай (вход против движения планеты, $\beta =\pi$):
$$\Delta ϵ=2V_p{v}_{\infty }{\sin }^2\frac{\delta }{2}.$$ - Угол отклонения через параметры пролёта (приближённо для точечной массы):
$$\delta =2\arctan \left(\frac{GM}{b{v}_{\infty }^2}\right),$$ где $b$ — параметр удара (impact parameter). Связь $b$ и перицентра $r_p$:
$$b=r_p\sqrt{1+\frac{2GM}{r_p{v}_{\infty }^2}}.$$
Когда можно максимально увеличить скорость:
- Теоретический максимум прироста гелиоцентрической скорости при одном обводе — порядка $2V_p$ (в пределе малого $v_{\infty }$ и разворота на $\delta \to \pi$). На практике $v_{\infty }$, ограничения по сближению и атмосфера/кольца это ограничивают.
- Чем больше отклонение $\delta$, тем больший эффект. Чтобы увеличить $\delta$: уменьшать $b$ (глубже пролёт), уменьшать $v_{\infty }$ (более «мягкий» вход) и/или увеличивать $GM$ (выбирать более массивную планету).
Как минимизировать расход топлива при максимальном приросте скорости (практические рекомендации):
1. Геометрия: заходить на «ведущую» сторону планеты (leading side), чтобы после отклонения вектор скорости приближался к направлению движения планеты — это даёт прирост энергии. Для торможения — на «хвостовую/отстающую» сторону.
2. Глубокий пролёт: минимизировать перицентр $r_p$ в пределах допустимого (атмосфера, трение, радиация, приливные нагрузки, кольца). Чем меньше $r_p$, тем больше $\delta$.
3. Использовать планеты с большой орбитальной скоростью $V_p$ (внутренние планеты дают большой прирост направления; внешние — большие гравитационные повороты из‑за массы). Компромисс выбирается по цели.
4. Комбинировать с Oberth‑манёвром: если вы можете выполнить импульсный толчок вблизи глубокой точки поля (при высокой скорости относительно планеты), прирост энергии при том же $\Delta v$ максимален. Удельное изменение энергии при импульсном $\Delta v$ приблизительно:
$$\Delta ϵ\approx v\Delta v+\frac{1}{2}(\Delta v{)}^2,$$ поэтому делайте торможение/ускорение в перицентре.
5. Серия обводов: многократные гравитационные манёвры (слейпсы) экономят топливо для больших приращений энергии (известные межпланетные траектории).
6. Малые корректирующие тяги: используйте малые коррекции (поправка параметра удара) перед пролётом, чтобы попасть на оптимальный $b$; эти Δv гораздо меньше, чем если бы вы пытались компенсировать плохой заход позже.
7. Учитывать ограничения: безопасность (атмосфера, тепловая нагрузка), точность навигации и массовый баланс — планета теряет импульс, но из‑за огромной массы её изменение пренебрежимо мало.
Замечание по сохранению импульса: энергия/импульс передаются планете; изменение её скорости порядка $\Delta V_p\sim -(m_s/M_p)\Delta v$ — для реальных аппаратов бесконечно мало.
Вывод: оптимизация — правильно выбрать планету и сторону захода, сделать максимально глубокий безопасный пролёт, по возможности сочетать с Oberth‑манёвром и серией обводов, и минимально корректировать траекторию топливом перед пролётом.