Массовый дефект и энергия связи
- Массовый дефект определяется разностью суммарных масс отдельных нуклонов и массы ядра:
$\Delta m=Z{m}_p+N{m}_n-m_{\text{ядра}}$.
- Энергия связи равна высвободившейся энергии, эквивалентной этому дефекту по релятивистской формуле:
$E_b=\Delta m{c}^2$.
- Чаще рассматривают энергию связи на нуклон:
$\frac{E_b}{A}$, где $A=Z+N$.
Почему максимум в середине таблицы нуклидов
- Форма зависимости $\frac{E_b}{A}$ объясняется конкуренцией разных вкладов в энергию ядра. Вплотную это описывает полуэмпирическая формула Вайцзеккера:
$$B(A,Z)=a_{v}A-a_s{A}^{2/3}-a_c\frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}}-a_a\frac{(A-2Z{)}^2}{A}\pm \delta (A,Z),$$ где первые два члена — объёмный (притяжение нуклонов) и поверхностный (недокомпенсированные нуклоны на поверхности), третий — кулоновское отталкивание протонов, четвёртый — энергетический штраф за неравенство чисел n и p, пятый — парный член.
- Для малых $A$ высокий вклад поверхностного члена уменьшает $E_b/A$. Для больших $A$ растущее кулоновское отталкивание снижает связность. В результате существует максимум примерно при $A\approx 56$ (ядра типа $\mathrm{Fe}$, $\mathrm{Ni}$), где достигается оптимальный баланс между объёмным притяжением и поверхностно/кулоновскими потерями.
- Численно максимальная энергия связи на нуклон около $\sim 8.5-8.8\mathrm{MeV}$ для ${}^{56}\mathrm{Fe}$, тогда как у тяжёлых актинид (напр. ${}^{238}\mathrm{U}$) $\frac{E_b}{A}\approx 7.5-7.6\mathrm{MeV}$.
Последствия для деления и термоядерного синтеза
- Энергия, выделяемая в реакции, равна разности связей до и после:
$\Delta E=\left(\sum E_{b,\text{продуктов}}-\sum E_{b,\text{исходных}}\right)$.
- Термо́ядерный синтез (слияние лёгких ядер): для ядер с $A$ меньше пика ($A<56$) $\frac{E_b}{A}$ возрастает при объединении — поэтому при слиянии лёгких ядер (например, $\mathrm{D}+\mathrm{T}$) выделяется энергия. Пример: реакция D+T даёт суммарно $\sim 17.6\mathrm{MeV}$ на акт реакции.
- Ядерное деление (распад тяжёлых ядер на более лёгкие фрагменты): при распаде тяжёлых ядер ($A>56$) образуются фрагменты с большей средней связью на нуклон, поэтому выделяется энергия (напр., деление ${}^{235}\mathrm{U}$ даёт порядка $\sim 200\mathrm{MeV}$ на акт деления).
- Следствие для астрофизики: термоядерное горение звёзд идёт до образования ядер около пика энергии связи; синтез элементов тяжелее железа требует ввода энергии (эндотермичен) и обычно связан с энергией сверхновых и нейтронными захватами.
Кратко: массовый дефект переводится в энергию связи по $E_b=\Delta m{c}^2$; максимум $\frac{E_b}{A}$ у среднего $A$ объясняется балансом объёмных, поверхностных и кулоновских эффектов (см. формулу Вайцзеккера); это определяет, что слияние лёгких ядер и деление тяжёлых ядер являются энерговыделяющими процессами, тогда как превращения к ядрам тяжелее железа требуют затрат энергии.