Ниже — компактный план моделей, методов оценки погрешностей и выводы для выбора оборудования при анализе влияния атмосферы (промежуточные слои + ионосфера) на точность одночастотного GNSS в реальном времени.

Математические модели

Наблюдательные уравнения (основная модель псевдодальности):
[
P = \rho + c\Delta t + T + I + \varepsilon_P
]
где (P) — псевдодальность, (\rho) — геометрический путь, (c\Delta t) — сдвиг часов, (T) — тропосферная задержка, (I) — ионосферная задержка, (\varepsilon_P) — шум/мультипуть.Тропосфера: разложение на гидростатическую и влажную составляющие
[
ZTD = ZHD + ZWD,
]
Saastamoinen (приближённо) для ZHD:
[
ZHD \approx 0.0022768\ \frac{P}{1 - 0.00266\cos(2\varphi) - 0.00028 h},
]
где (P) — давление (гПа), (\varphi) — широта, (h) — высота (км). Приведение зенитных задержек в направление спутника через маппинг-функции:
[
T(e) = m_h(e)\,ZHD + m_w(e)\,ZWD,
]
(наиболее используемые маппинг-функции: Niell, VMF1/GMF).Ионосфера: однослойная модель (SLM) и связь с TEC:
[
I_s = \frac{40.3}{f^2}\,TEC\cdot S(e),
]
где (f) — частота ((f1 = 1575.42\ \mathrm{MHz}) для GPS L1), (TEC) — полная электронная содержательность, (S(e)) — ионо-синусное отображение (сложно зависит от высоты эффективного слоя (h{ion}) и зенитного угла).Статические/эмпирические модели (для реального времени): Klobuchar (GPS broadcast), глобальные/региональные RT TEC/IONEX-реставрации, SBAS-исправления; тропосферные эмпирики: Hopfield, UNB3/NGG, GPT2/GMF/VMF1 (VMF1 при наличии реф.карт).Локальное оценивание параметров (рекурсивно): включение в вектор состояния параметров:
[
x = [\rho\text{-параметры},\; c\Delta t,\; ZWD\ \text{(или ZTD)},\; TEC\ \text{(или }I_s),\; \ldots]^T,
]
и применение Кальмана/Расширенного Кальмана (EKF) или последовательного МНК.

Методы оценки погрешностей и валидация

Линейная аппроксимация и распространение ошибок: построение Якобиана (\mathbf{H}), ковариации наблюдений (\mathbf{R}) и оценка ковариации параметров
[
\mathrm{Cov}(x) = (\mathbf{H}^T\mathbf{R}^{-1}\mathbf{H})^{-1}.
]Рекурсивная фильтрация (KF/EKF/UKF) для динамической оценки ZTD и TEC; моделирование дрейфа и шума через матрицу (Q).
[
x_{k+1} = F x_k + w_k,\quad y_k = H x_k + v_k.
]Варианс-компонентный анализ и оценка вкладов ошибок (разделение вкладов тропосферы, ионосферы, часов, мультипути).Монте‑Карло симуляции для оценки распределения ошибок при различной геометрии, уровне TEC и SNR.Оценка остатков (post-fit residuals), спектральный анализ остатков для выявления мультипути/несмещений; валидация через сравнение с эталонами (двухчастотный референс/CORS/IGS).Специальные методы для одночастотных данных: Хэтч-фильтр для сглаживания кода по фазе (Hatch smoothing) с контролем сбоев цикла; адаптивное фильтрование для подавления плавающих ионосферных ошибок.

Практические выводы для реального времени и выбор оборудования

Требования к приёмнику:
Поддержка многоконстелляционной съёмки (GPS+GLONASS+Galileo+BDS) для улучшения геометрии и устойчивости при единственной частоте.Доступ к сырьёвым измерениям (псевдодальность и фазовые измерения) и метаинформации (SNR, слоты, метки времени).Поддержка протоколов реального времени (RTCM, NTRIP, SBAS) для получения и применения внешних коррекций (SBAS, SSR/PPP, региональные RTK).Высокая частота записи (≥1 Hz, предпочтительно 5–20 Hz для динамики) и качественная обработка мультипути (анализ SNR).Антенна:
Геодезического класса (геодезический хоппер/чок-ринг или высококачественный панельный), с хорошей фазовой стабильностью и подавлением мультипути.Метеостанция:
Барометр (давление), термометр, гигрометр для локального уточнения ZHD/ZWD; наличие датчиков снижает неопределённость тропосферной модели.Обработка/вычисления в поле:
Аппарат/ПО, способное выполнять KF/EKF в реальном времени, принимать TEC/SSR-исправления и оценивать ZTD/TEC как состояния.Связь:
Стабильный канал передачи (мобильный 3G/4G/5G, спутниковый) для приёма поправок (NTRIP).Рекомендация по уровню точности и реальным ограничениям:
Без внешних ионосферных коррекций одночастотная позиция подвержена ионосферным ошибкам порядка нескольких метров при сильной активности; с SBAS/региональными TEC-картами/SSR — заметное снижение (до десятых метров/дециметров в благоприятных условиях).Для сантиметровой точности требуется двухчастотная приёмная система (убирает ионосферу через комбинацию свободного от ионосферы).

Краткая последовательность действий при анализе/экспериментах

Модель: выбрать набор моделей (Saastamoinen + VMF1/GMF для тропо, SLM+RTC TEC/IONEX/Klobuchar/SBAS для ионо).Реализация: KF/EKF с состояниями ZTD и TEC; задать адекватные Q/R и провести валидацию на референсе (двухчастотный CORS).Оценка погрешностей: ковариационный анализ + Monte‑Carlo + анализ остатков.Оборудование: многоконстелляционный приёмник с raw-данными, качественная антенна, метеосенсоры, доступ к реальным поправкам.

Если нужно, могу дать компактные формулы маппинг‑функции (Niell/VMF1), уравнения SLM для расчёта (S(e)) и пример реализации EKF с конкретными состояниями и значениями ковариаций.