Кратко — какие систематические ошибки ожидаются и как реконструировать сеть.

Типичные систематические ошибки

Масштаб (длина цепи/калибровка): цепь могла быть короче/длиннее номинала => все горизонтальные расстояния умножены на фактор (k) (постоянный или зависящий от участка). Снятие по склону: измерялись натянутые/наклонные цепи; горизонтальная проекция короче истинной: если измеренная по склону длина (d_s) и угол наклона (\phi), горизонтальная (d_h=d_s\cos\phi). Термокомпенсация/натяжение/провис: малые систематические множители в длине (темп., натяжение) — опять фактор в расстояниях. Направления (азимуты): систематический сдвиг азимутов от магнитного склонения и/или смещение нулевого положения прибора. Если использовали магнитный компас, азимуты связаны с магнитным севером и за время смещения деклинации. Модель: (\alpha{obs}=\alpha{true}+\Delta_D+\Delta_0+\varepsilon). Неправильная ориентация карты/проекции, отсутствие геодезического датума: трансляция/ротация/неправильный масштаб между историческими плоск.координатами и современными. Кумулятивные погрешности замкнутых ходов: систематический угол или длина вызывает дрейф положения. Местные искажения при съемке (растительность, препятствия) — локальные, часто нелинейные деформации.

Математическая модель наблюдений (реконструкция)

Для звена между точками (i) и (j) можно записать:
расстояние: (\;d_{obs}=k\sqrt{(x_j-x_i)^2+(y_j-y_i)^2}+\varepsilon_d), где (k) — фактор цепи/склейки/сглаживания; азимут: (\;\alpha_{obs}=\operatorname{atan2}(y_j-y_i,x_j-xi)+\Delta\alpha+\varepsilon\alpha), где (\Delta\alpha) — систематический azimuth-bias (включая магнитную деклинацию, ноль прибора). Для учёта сечения по склону можно добавить параметр поправки (\phi) или заменить (d{obs}) на горизонтальную проекцию: (d{h}=d_{s}\cos\phi) (если известны углы наклона).

Практический алгоритм реконструкции и обновления границ

Скан карты и оцифровка: векторизовать узлы/линиии границ и, по возможности, перенести подписи/координаты/заметки из полевых журналов. Найти контрольные точки (стабильные объекты: церкви, перекрёстки дорог, каменные знаки) которые сохранились — сопоставить с современными координатами. Первоначальная сшивка: провести 2D similarity трансформацию (Гельмерт) историч. координат на современные для грубой подгонки:
[
\begin{pmatrix}x^{(m)}\ y^{(m)}\end{pmatrix}=sR(\phi)\begin{pmatrix}x^{(h)}\ y^{(h)}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}t_x\ t_y\end{pmatrix},
]
где (s) — масштаб, (R(\phi)) — матрица поворота, (t_x,t_y) — сдвиг. Анализ остатков: посмотреть пространственную структуру остатков по контрольным точкам — если остатки систематичны (постоянный масштаб/поворот), Helmert достаточно; если остатки нелинейны — нужны локальные поправки (аффинная/полиномиальная, тонкопластинный сплайн). Сбор наблюдений из журналов: извлечь станции, послед. расстояния и азимуты—построить граф наблюдений (узлы + ребра). Сеточная корректировка методом взвешенного наименьших квадратов: неизвестные — координаты узлов (x_i,yi) и при необходимости параметры систематики (k,\Delta\alpha) (глобальные или по участкам). Нормальные уравнения формулируются через линеаризацию моделей (см. выше). Это позволит одновременно оценить координаты и систематические параметры и дать оценки погрешностей. Учет магнитной деклинации: если азимуты магнитные, вычислить деклинацию для места и времени съёмки (исторические модели поля/GAD/IGRF) и включить как априорную поправку или как оцениваемый параметр. Сопоставление границ: после корректировки сети перенести исторические границы в современную систему; провести локальную корректировку вдоль границ при необходимости, сохраняя юридические точки (boundary monuments) фиксированными. Валидация: проверка замыканий, статистические тесты на остатки, пространственный анализ избыточных наблюдений, оценка неопределённости границ (построить позиционные интервалы). Документация: сохранить все предположения (какие параметры оценивались, какие приняты), чтобы обеспечить юридическую прозрачность.

Практические замечания

Если мало контрольных точек — оценить только (s,\phi,t_x,t_y) (Helmert). При больших локальных искажениях лучше делить карту на участки и делать локальные сходства. Если доступны полевые журналы — использовать их: часто можно восстановить последовательности и знать, были ли азимуты магнитные. Всегда оценивать неопределённость границ: современное обновление границ должно сопровождаться картой погрешностей. Инструменты: GIS + сетевое программное обеспечение (adjustment packages, напр. GNU Gama, Leica Geo Office, собственные реализации LSQ).

Краткий итог
Ожидаемые систематические эффекты: масштабные множители (длина цепи, температура, натяжение), систематический сдвиг азимутов (магнитная деклинация/нулевой сдвиг), сходимость результирующих замыканий и локальные деформации. Реконструкция — оцифровка, поиск опорных точек, начальная similarity-подгонка, затем сетевой LSQ‑ре‑аджаст с параметризацией систематик (фактор масштаба (k), азимутный сдвиг (\Delta_\alpha), поправки по склону) и оценкой неопределённостей.