Кратко — по пунктам: как применялись методы, какие типичные системные ошибки возникали и как современные методы их выявляют/исправляют.
1) Применение в XVIII–XIX вв.
- Триангуляция: закладывали один или несколько точно измеренных базисов (baseline), затем строили сеть треугольников, измеряли углы теодолитами/секстантами и вычисляли расстояния по теореме синусов. Крупные проекты: Кассини (Франция), Англо‑французская съёмка (Greenwich–Paris), Струве (Струве‑дуга).
- Нивелирование: высокоточное геометрическое нивелирование для создания вертикальных сетей и привязки к морскому уровню; использовали рейки/лупы, корригировали кривизну и рефракцию.
2) Основные источники системных ошибок (и их качественные/количественные проявления)
- Ошибки базиса (масштабные): если базис имел относительную ошибку $s$, то все вычисленные дистанции масштабно искажаются: ${\text{d}}_{\text{true}}\approx (1+s){\text{d}}_{\text{meas}}$. Масштабная ошибка приводит к пропорциональному смещению координат сети.
- Уголовые смещения (инструментальные и атмосферные): смещение коллимации, систематическая рефракция или ошибочная юстировка дают bias в измеренных углах. Погрешность угла $\delta \theta$ преобразуется в погрешность положения пропорционально длине базиса, грубо: $\delta r\sim L\delta \theta$. Для пересечения двух лучей с межуглом $\theta$ более аккуратно: ${\sigma }_{pos}\approx \frac{L{\sigma }_{\theta }}{\sin \theta }$.
- Дефлекция отвеса (отклонение вертикали): масс‑концентрации и реальная форма геоида давали разницу между астрономическими и геодезическими направляющими; это даёт систематические смещения широт/долгот: $\Delta \phi \approx \xi ,\Delta \lambda \approx \eta /\cos \phi$ (где $\xi ,\eta$ — компоненты отклонения отвеса).
- Тепловое расширение измерительных стержней/тросов: относительная ошибка длины $ϵ=\alpha \Delta T$ даёт систематическую ошибку высоты/длины $\delta L=ϵL$.
- Неправильная модель кривизны/рефракции при нивелировании: неполная коррекция даёт тренд по протяжённости (накопление погрешности). Случайное накопление при последовательном нивелировании: ${\sigma }_h=\sqrt{N}{\sigma }_0$ (если ${\sigma }_0$ — ошибка одного перехода, $N$ — число переходов).
- Неточный геодезический датум/эллипсоид: ранние сети использовали локальные эллипсоиды и нулевые уровни моря, несовместимые между странами → трансляции/вращения/масштабные сдвиги между сетями.
Симптомы системных ошибок: большие замкнутые несходства (closure errors) в суммах углов/цепочках, систематические остатки при редукции, тренды вдоль линий.
3) Как современные методы позволяют переоценить и исправить эти сети
- GNSS/ITRF: прямые высокоточные трехмерные координаты (мм–см) для опорных пунктов дают независимый масштаб и ориентацию. Сопоставление старых координат с современными выполняется через трансформацию Хельмерта:
$${\mathbf{X}}_{\text{new}}=(1+s)R{\mathbf{X}}_{\text{old}}+\mathbf{T},$$ где $s$ — малый масштаб, $R$ — матрица вращения, $\mathbf{T}$ — перенос. Это выявляет и корректирует глобальные масштабы/сдвиги/вращения.
- Переоценка с помощью оптимального оценивания (метод наименьших квадратов с учётом ковариаций): нормальные уравнения
$$A^{\top }PA\mathbf{x}=A^{\top }P\mathbf{l}$$ позволяют разделить случайные и систематические составляющие, оценить остатки и выделить сдвиги, тренды и скоррелированные ошибки. Современная стохастическая модель учитывает автокорреляцию и корреляцию между наблюдениями.
- Использование наземной и спутниковой гравиметрии + модели геоида: старые геометрические уровни можно привязать к современному геоидам через гравиметрические данные, исправляя систематические ошибки нивелирования (например, региональные отклонения нулевой поверхности).
- Ремесленные поправки: применение точных атмосферных моделей, температурной коррекции длины стержней, повторные измерения и EDM/лазерные дистанции как контроль за масштабом.
- Статистическая диагностика: анализ остатков (расчёт блочных смещений, тесты на наличие трендов), сингулярный анализ матрицы ковариаций для обнаружения доминирующих систематик, Монте‑Карло моделирование для оценки влияния предполагаемых систематических эффектов.
- Комбинирование данных разных эпох: совместная обработка исторических углов/дистанций/высот с современными GNSS/гравиметрическими наблюдениями даёт перераспределение и устранение систематик, при сохранении исторической информации (включая выявление деформаций/сдвигов со временем).
4) Практический итог и порядок величин
- Типичные систематические ошибки старых сетей: масштабные ошибки до 10^-6 … 10^-5 (т.е. см–дециметров на десятки км), угловые систематические сдвиги ~0.5–5″ дающие погрешности положения на десятки секунд дуги (десятки—сотни метров) на больших расстояниях, нивелирование — систематические смещения до мм–см/км в зависимости от методики и учёта рефракции.
- Современная переоценка обычно даёт: устранение масштабных и вращательных несоответствий (переход в ITRF), улучшение высотной привязки через гравиметрию (переход от локального нуля к геоидной системе), идентификацию локальных деформаций и исправление инструментальных биасов. В результате сохраняют историческую сеть как геодезическую и культурную базу, но координаты переводят в глобальную, статистически сопоставимую систему с оценкой неопределённостей.
Коротко: триангуляция давала хорошую угловую сеть, нивелирование — высоты, но масштаб, рефракция, отклонение отвеса и температурные/инструментальные смещения вводили систематические ошибки. Современные GNSS, гравиметрия и стохастически корректная совместная обработка позволяют обнаружить и устранить эти системные искажения, перевести старые сети в единую глобальную систему с корректной оценкой погрешностей.