Кратко — принципы, влияние на точность и рекомендации для крупномасштабной городской карты.
Принципы картографических проекций
- Проекция — математическое отображение поверхности эллипсоида (или сферы) на плоскость. При этом неизбежны искажения.
- Типы сохранения (свойства):
- конформная — сохраняет углы/локальные формы (например, Меркатор, поперечный Меркатор);
- равновеликая — сохраняет площади;
- равноудалённая — сохраняет расстояния от опорной точки (азимутальная равноудалённая);
- азимутальная — сохраняет направления от центра карты.
- Оценка локальных искажений через Якобиан проекции и индикатор Тиссота (малые окружности превращаются в эллипсы, их параметры дают местные деформации).
Ключевые математические идеи (в упрощённой форме)
- Проекция даёт отображение географических координат $(\varphi ,\lambda )$ в плоские $(x,y)$: $(\varphi ,\lambda )\mapsto (x(\varphi ,\lambda ),y(\varphi ,\lambda ))$.
- Для малой области можно использовать тангенциальную аппроксимацию (локальная плоскость, полезно для города):
$$x\approx R\cos {\varphi }_0(\lambda -{\lambda }_0),y\approx R(\varphi -{\varphi }_0),$$ где $R$ — радиус Земли (или нормальный радиус кривизны), ${\varphi }_0,{\lambda }_0$ — центр.
- Локальные искажения задаёт Якобиан
J=(∂x∂ϕ∂x∂λ∂y∂ϕ∂y∂λ), J=\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial x}{\partial\phi} & \dfrac{\partial x}{\partial\lambda}\\[6pt]
\dfrac{\partial y}{\partial\phi} & \dfrac{\partial y}{\partial\lambda}
\end{pmatrix},
J= ∂ϕ∂x ∂ϕ∂y ∂λ∂x ∂λ∂y , из которого получают масштабные множители, угловую деформацию и отношение осей индикса Тиссота.
Как выбор проекции влияет на крупномасштабную городскую карту
- Для крупномасштабных (детальных) карт искажения обычно малы, но требования к точности высоки (кадастр, инженерия). Поэтому важно минимизировать локальные искажения масштаба и углов.
- Если важны формы и углы (планировка улиц, градостроительные чертежи) — выбирают конформные проекции (поперечный Меркатор / Gauss‑Krüger / UTM или локальный поперечный Меркатор, обликтический стереографический для очень точных сетей).
- Если важны площади (анализ плотности, учёт земельных участков) — равновеликая проекция.
- Если город вытянут в одном направлении (вдоль меридиана) — поперечный Меркатор даёт малые искажения вдоль вытяжки; для вытянутых восток‑запад областей лучше конические (Lambert Conformal Conic).
- Практические параметры: выбор центрального меридиана ${\lambda }_0$, ложного смещения (false easting/northing) и масштабного множителя на центральной оси $k_0$ (например, для UTM $k_0=0.9996$) влияет на распределение искажения по карте.
- Неправильный выбор зоны/центра или использование неподходящего датума (геодезической системы) приводит к значимым ошибкам в расстояниях, площадях и азимутах при высоких требованиях точности.
Практические рекомендации для городской карты
- Для обычного городского масштаба используйте проверенную проекцию национальной/региональной сетки (напр., UTM или государственная система) — минимальная настройка, совместимость данных.
- Для очень высокой точности (кадастр, строительство) — заводите локальную поперечную Меркаторную проекцию с центральным меридианом через город и маленьким масштабным множителем (возможно $k_0$ близко к $1$ или слегка меньше, чтобы равномерно распределить искажения).
- Всегда указывайте датум/референсный эллипсоид (напр., WGS84 или национальный) и параметры проекции в метаданных.
- Проверяйте локальные искажения (масштаб в точке, угол сходимости меридиан) и, при необходимости, пересчитывайте измерения с учётом местного масштабного множителя.
Коротко: для крупномасштабной городской карты приоритет — минимальные локальные искажения углов и масштаба; чаще всего оптимален (локально настроенный) поперечный Меркатор или национальная плоская система; важны правильный датум, центральный меридиан и явное указание параметров проекции.