Кратко и по сути — когда предпочитать каждый метод, с плюсами/минусами и важными формулами.
1) Теоретический анализ (аналитическое распространение погрешностей)
- Суть: используем модель $f(x_1,\dots ,x_n)$ и априорные оценки погрешностей входных величин ${\sigma }_{x_i}$.
- Формула (линейная аппроксимация, с учётом ковариаций):
$${\sigma }_f=\sqrt{\sum _i{\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)}^2{\sigma }_{x_i}^2+2\sum _{i<j}\frac{\partial f}{\partial x_i}\frac{\partial f}{\partial x_j}\mathrm{Cov}(x_i,x_j)}.$$ - Преимущества: даёт прогноз до измерений, полезен для проектирования, расчёта бюджета погрешности, выбора приборов и методов.
- Ограничения: точность зависит от корректности модели и априорных ${\sigma }_{x_i}$; не учитывает неизвестные систематические эффекты и нелинейности высокой степени без дополнительной работы.
- Когда предпочтителен: на стадии проектирования/планирования, когда нужно оценить ожидаемую погрешность, при аналитически описуемой модели и известных характеристиках приборов.
2) Статистическая оценка по повторным измерениям (эмпирическая точность, внутренняя согласованность)
- Суть: многократные независимые измерения одной и той же величины; оцениваем разброс (дисперсию/СТО).
- Формулы:
$$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i,s^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2,\text{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}.$$ - Преимущества: даёт реальную оценку случайной составляющей погрешности и доверительные интервалы; не требует сложной модели.
- Ограничения: не выявляет смещения (систематики), требует достаточного числа независимых повторов; предположение независимости и одинакового распределения.
- Когда предпочтителен: при стабильном процессе измерений, когда нужно оценивать случайную составляющую точности (повторяемость/воспроизводимость); при калибровке приборов, лабораторных испытаниях.
3) Контроль по эталонным пунктам (валидация по опоре/опоре с известными значениями)
- Суть: сравнение результатов с независимыми эталонными значениями $x_i^{\text{ref}}$. Оценивают смещение и совокупную ошибку.
- Формулы:
$$\text{Bias}=\overline{(x_i-x_i^{\text{ref}})},\mathrm{RMSE}=\sqrt{\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(x_i-x_i^{\text{ref}}{)}^2}.$$ - Преимущества: даёт оценку абсолютной точности (включая систематику и случайные ошибки) относительно внешнего стандарта; выявляет смещения и даёт основу для корректировок.
- Ограничения: требует качественных эталонов/референсов; результаты зависят от пространственного/временного покрытия эталонов; нельзя полностью объяснить причины расхождений без дополнительного анализа.
- Когда предпочтителен: при проверке абсолютной точности, при вводе в эксплуатацию, при межлабораторных сравнениях, полевой валидации и контроле качества.
Рекомендация по использованию в практике
- Комбинируйте: теоретический анализ для проектирования и определения ожидаемых величин ошибок; статистика повторов для оценки случайной составляющей и стабильности процедуры; контроль по эталонам для проверки абсолютной точности и выявления систематики.
- Учтите условия применения: независимость измерений, адекватность модели, качество эталонов и достаточность выборки (например, для адекватной оценки дисперсии желательно $n$ не меньше нескольких десятков в случае сложных распределений, для оценки смещения достаточно охвата эталонов по диапазону измерений).