Цель занятия (общая и частные)
- Общая: дать учащимся практическое представление о базовых приёмах геодезической съёмки с доступными инструментами и навыки оценки точности измерений.
- Частные:
1. освоить применение GNSS-приложения на смартфоне для определения координат и высот;
2. научиться измерять расстояния рулеткой и углы/наклоны смартфоном (компас/инклинометр);
3. выполнить простые вычисления положения методом трилатерации и определить перепад высот методом измерения угла;
4. оценивать погрешности и оформлять результаты.
Оборудование и материалы
- Смартфон с GNSS-приложением (вывод долготы/широты/высоты, режимы: GPS/GNSS, возможность записи трека).
- Рулетка (10–30 м).
- Уровень/нивелир (ручной пузырьковый уровень или приложенийный «ручной уровень»; для вычислений используем также инклинометр смартфона).
- Две опорные метки (например, конусы или флажки).
- Блокнот/таблица для записей, калькулятор или ноутбук.
Структура занятия (90 мин)
1. Вводная (10 мин)
- Кратко объяснить цели, технику безопасности, точность инструментов (смартфон GNSS: горизонтальная точность ~$5-15$ м, высотная хуже).
2. Разминка — определение опорных координат (15 мин)
- Выберите на площадке две видимые точки A и B на расстоянии 15–30 м друг от друга (baseline $c$).
- На каждой точке запишите координаты (широта, долгота, высота) через GNSS-приложение, сделайте серию измерений (3–5 подряд) и найдите средние значения.
- Формулы для среднего и стандартного отклонения:
$$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i,s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}.$$ 3. Трилатерация — определение координат точки C (25 мин)
- Измерьте рулеткой расстояния от A и B до условной третьей точки C (расстояния $b=AC$, $a=BC$).
- В системе координат: положите A в точку $(0,0)$, B в точку $(c,0)$. Тогда координаты C вычисляются как
$$x=\frac{b^2-a^2+c^2}{2c},y=\pm \sqrt{b^2-x^2}.$$ - Сравните рассчитанные $x,y$ с координатами, полученными GNSS (переведите широту/долготу в плоскую систему локально: для небольших площадей можно использовать приближение в метрах)
$$\Delta x\approx R\cos {\phi }_0\cdot (\lambda -{\lambda }_0),\Delta y\approx R\cdot (\phi -{\phi }_0),$$ где $R$ — радиус Земли (~$6.37\cdot 10^6$ м), $\phi ,\lambda$ — в радианах.
4. Определение перепада высот (20 мин)
Вариант А — по углу и расстоянию (если есть инклинометр в смартфоне):
- Измерьте горизонтальное расстояние $d$ от точки наблюдения до цели рулеткой и угол наклона $\alpha$ (положительный вверх) инклинометром. Перепад высот
$$\Delta h=d\tan \alpha .$$ Вариант Б — сравнительный метод с уровнем (если есть измерительные рейки): сделайте два чтения на рейке с удалённой целью и вычислите разность.
- Сравните результат с высотой, выданной GNSS-прибором; вычислите абсолютную и относительную погрешности:
$$\epsilon =|h_{\text{изм}}-h_{\text{этал}}|,\delta =\frac{\epsilon }{|h_{\text{этал}}|}\cdot 100\%.$$ 5. Оформление результатов и выводы (20 мин)
- Каждая группа готовит короткий отчёт: методика, таблицы измерений, расчёты, оценка погрешностей, возможные источники ошибок (ошибка рулетки, ошибки углового измерения, GNSS-шумы, мультипути и т.д.).
Задания для учеников (конкретные)
1. Находясь у опорных точек A и B (расстояние $c$ известно), выполнить по 5 GNSS-замеров и вычислить средние координаты и стандартные отклонения. Сравнить расстояние между A и B, вычисленное из средних координат, с измеренным рулеткой $c$.
2. Измерить расстояния $a=BC$ и $b=AC$ до точки C рулеткой, выполнить трилатерацию и найти координаты C по формулам выше; сравнить с GNSS-координатами точки C.
3. Определить перепад высот между двумя точками двумя способами: (а) по инклинометру и рулетке, (б) по показаниям GNSS; дать оценку расхождений.
4. Подсчитать средние, стандартные отклонения и погрешности; дать короткое заключение о пригодности каждой методики.
Критерии оценки (баллы, максимум 100)
- Подготовка и организация (10): наличие записей, правильность установки базовых точек.
- GNSS-замеры и статистика (20): правильно собраны серии, вычислены $\bar{x}$ и $s$; оценка качества спутниковых измерений.
- Трилатерация (25): корректные измерения $a,b,c$, правильные вычисления $x,y$, сравнение с GNSS. Критерии точности:
- Отлично (25): расхождение между трилатерацией и GNSS в плане < $2$ м и расчёты без ошибок.
- Хорошо (18–24): расхождение $2-5$ м.
- Удовлетворительно (10–17): расхождение $5-10$ м.
- Неудовлетворительно ( $10$ м или ошибки в методике.
- Перепад высот (20): верно применена формула $\Delta h=d\tan \alpha$ или метод нивелирования; сравнение с GNSS и оценка погрешности. Критерии:
- Отлично (20): расхождение < $0.05$ м (если метод нивелирования) или < $0.2$ м (инклинометр/рулетка).
- И т.д. пропорционально.
- Отчёт и выводы (15): ясность, анализ источников ошибок, предложения по улучшению.
Советы по точности и безопасности
- Для уменьшения GNSS-шумов: делать последовательные замеры, стоять на открытом пространстве, фиксировать среднее.
- Рулетку тянуть ровно, фиксировать измерения двумя людьми.
- Следить за безопасностью при работе на дороге/уклоне; использовать перчатки при работе с рулеткой.
Короткий перечень формул (используемые в задании)
- Середнее: $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$.
- Стандартное отклонение: $s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$.
- Трилатерация (A(0,0), B(c,0)): $x=\frac{b^2-a^2+c^2}{2c},y=\pm \sqrt{b^2-x^2}$.
- Перепад высот по углу: $\Delta h=d\tan \alpha$.
- Погрешности: $\epsilon =|x_{\text{изм}}-x_{\text{этал}}|,\delta =\frac{\epsilon }{|x_{\text{этал}}|}\cdot 100\%$.
Если хотите, могу подготовить шаблон таблицы для заполнения измерений и вычислений (CSV/Excel).