Коротко и по делу — методика привязки исторических кадастровых планов конца XIX в. и оценка пространственной неопределённости, чтобы сохранить правовой статус объектов.
1) Подготовка исходных данных
- Сканирование с высоким разрешением, документирование деформаций бумаги (сканы с/без растяжения), фотозапись листа в натуре.
- Собрать современные опоры: точные координаты устойчивых контрольных точек (ЦТ) — углы сооружений, фундаментные отметки, кресты церквей, пересечения дорог; источники: GNSS, ортофото, ЛИДАР, государственные реестры.
- Оценить «геометрическую» надёжность каждой опоры (ошибка измерения, изменения объекта с XIX в.).
2) Выбор модели трансформации и требуемые опоры
- Простая similarity/Helmert (сдвиг, поворот, масштаб): 2–3 контрольные точки; устойчива при равномерном масштабном отличии.
- Аффинная (6 параметров): минимум 3 неколлинеарные ЦТ.
- Полином степени d (общая форма): требуется минимум
$N_{\min }=\frac{(d+1)(d+2)}{2}$ ЦТ (например, для $d=2$ — 6 точек).
- Нелинейные/локальные: кусочно-линейные, тонкопластинные сплайны (TPS) — применять при явной локальной деформации бумаги/рисунка (требует большого числа ЦТ).
- Выбор по характеру и количеству деформаций: если бумага растянута/сжата неравномерно — TPS или полином высокой степени; если деформация мала — аффин или similarity.
3) Калибровка трансформации и диагностика
- Найти коэффициенты трансформации по ЦТ методом наименьших квадратов.
- Оценить остатки (вектора ошибок) для каждой ЦТ:
$\Delta x_i=x_i^{obs}-x_i^{trans},\Delta y_i=y_i^{obs}-y_i^{trans}$.
- Вычислить RMSE:
$RMSE=\sqrt{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(\Delta x_i^2+\Delta y_i^2)}$,
а по осям:
$RMS{E}_x=\sqrt{\frac{1}{n}\sum \Delta x_i^2},RMS{E}_y=\sqrt{\frac{1}{n}\sum \Delta y_i^2}.$ - Выполнить cross-validation (например, leave-one-out) для оценки устойчивости модели и выявления выбросов ЦТ.
4) Оценка пространственной неопределённости точек/объектов
Два практических подхода — аналитический и статистический (рекомендуется использовать оба).
А) Аналитический (ковариационная пропагация)
- Оценить ковариационную матрицу параметров трансформации ${\Sigma }_t$ (из LSQ).
- Для конкретной точки вычислить её ковариационную матрицу:
${\Sigma }_p=J{\Sigma }_t{J}^T+{\Sigma }_{obs},$ где $J$ — якобиан функции преобразования по параметрам в данной точке, ${\Sigma }_{obs}$ — ковариация измерений ЦТ (включая погрешности геолокации ЦТ).
- Построить эллипс доверия: разложение по собственным значениям ${\Sigma }_p=Q\Lambda Q^T$, полуоси эллипса:
$a=k\sqrt{{\lambda }_1},b=k\sqrt{{\lambda }_2}$,
где ${\lambda }_{1,2}$ — собственные значения, $k=\sqrt{{\chi }_{2,\alpha }^2}$ (для 95%: $k\approx \sqrt{5.991}\approx 2.447$).
Б) Монте‑Карло (эмпирический, практичен при сложных нелинейностях)
- Задать статистику погрешностей ЦТ (например, нормальное распределение с дисперсиями по осям).
- Многократно (н ≈ 1000–5000) случайно смещать ЦТ в пределах их ошибок, строить трансформацию и преобразовывать интересующие точки/границы.
- По распределению координат получить эмпирические доверительные области (например, 95%-контуры), оценить смещение, стандартное отклонение и асимметрию.
5) Нелинейные локальные и картографические ошибки
- Учитывать толщину линий, картографическую генерализацию, намеренные упрощения XIX века; при оцифровке фиксировать «фактическое» положение границы как полоску неопределённости ширины, соответствующей символике карты.
- Использовать локальные трансформации (TPS или разбиение карты на участки с собственной аффинной привязкой), если остатки демонстрируют пространственно зависимую структуру.
6) Применение результатов для правовой охраны
- Для каждого охраняемого объекта сохранять:
- геореференцированную геометрию;
- локальную ковариацию/эллипс доверия или эмпирический полигон (95% CI);
- метаданные: используемые ЦТ, их источники и предполагаемые ошибки, модель трансформации, RMSE, дата привязки, ответственные лица/ПО.
- В документах указывать не только координаты, но и зону неопределённости (например, полигон 95% CI); при коллизиях предпочтать натурную или современную правоустанавливающую съёмку.
- Для спорных границ рекомендовать проведение натурного GNSS/теодолитного обмерa и юридическое закрепление по современным кадастровым нормам; если это невозможно — использовать консервативные буферы (ширина = k·RMSE, где k выбирается в зависимости от степени риска; часто используют $k=2$–$3$ для грубой защиты).
7) Стандарты, документация и сохранение доказательной базы
- Хранить исходный скан, все промежуточные файлы трансформаций, журнал операций и скрипты.
- Оформлять метаданные по ISO 19115/19113, указывать уровень доверия по классификации (например, высокий/средний/низкий) основанный на RMSE, числе и качестве ЦТ, характере деформаций.
- Если используете результаты в юридических делах — регламентировать процедуру: протокол привязки, акт осмотра ЦТ, независимая проверка.
8) Практические рекомендации (чтобы снизить неопределённость)
- Максимизировать число равномерно распределённых по листу ЦТ (особенно по краям и внутри).
- Предпочесть жесткие геометрические объекты как ЦТ (фундаменты, церковные алтарные точки), не изменяющиеся со временем.
- Комбинировать методы: глобальная модель (аффин) + локальные коррекции (TPS) + Monte‑Carlo для итоговой CI.
- Для особо ответственных объектов требовать полевой привязки с GNSS и фиксации границ в современном кадастре.
Короткая формула принятия решения:
- если $RMSE\ll$ нормативной точности кадастра и CI меньше ширины символа/толщины границы на плане → можно использовать геореференцию для фиксации;
- иначе — необходимы дополнительные полевые работы или юридически оформленные уточняющие съёмки.
Если хотите, могу кратко составить рабочий протокол привязки (шаблон шаг‑за‑шагом) с рекомендуемыми инструментами (ПО, параметры Monte‑Carlo, минимальные числа ЦТ) под ваш конкретный кейс (регион, масштаб планов, доступность ЦТ).