Краткий план действий с пояснениями и необходимыми формулами.
1) Выявление смещённых пунктов
- Сравните новые и старые координаты: ${\Delta }_i={\mathbf{x}}_i^{new}-{\mathbf{x}}_i^{old}$.
- Оцените статистическую значимость смещения с учётом ковариаций: тест по Махаланобису
$$d_i^2={\Delta }_i^{\top }{C}_{{\Delta }_i}^{-1}{\Delta }_i,$$ где $C_{{\Delta }_i}$ — ковариационная матрица разности. Сравните с критическим значением ${\chi }^2$ с 2 (план) или 3 (пространство) степенями свободы (например для уровня $\alpha =0.01$ ${\chi }_{2,0.99}^2\approx 9.21$).
2) Классификация пунктов
- Отметьте: стабильные (незначимые смещения), очевидно смещённые, сомнительные (требуют дополнительной проверки).
- Избегайте использовать смещённые пункты как опору для восстановления.
3) Восстановление и привязка (при наличии достаточного числа стабильных пунктов)
- Выберите набор стабильных пунктов и определите преобразование старой системы в новую (чтобы обеспечить непрерывность для прошлых проектов) как 2D-сходство или 3D-Хельмерта.
- 2D-сходство:
$${\mathbf{x}}^{new}=sR(\theta ){\mathbf{x}}^{old}+\mathbf{t},$$ где $s$ — масштаб, $R(\theta )$ — матрица поворота, $\mathbf{t}$ — перенос.
- Для оценивания параметров (метод наименьших квадратов, закрытая форма через SVD):
вычислите центроиды $\bar{\mathbf{x}},{\bar{\mathbf{x}}}^{\prime }$, матрицу ковариации
$$H=\sum ({\mathbf{x}}_i^{\prime }-{\bar{\mathbf{x}}}^{\prime })({\mathbf{x}}_i-\bar{\mathbf{x}}{)}^{\top },$$ разложение $H=U\Sigma V^{\top }$, тогда
$$R=U{V}^{\top },s=\frac{\mathrm{trace}(\Sigma )}{\sum \Vert {\mathbf{x}}_i-\bar{\mathbf{x}}{\Vert }^2},\mathbf{t}={\bar{\mathbf{x}}}^{\prime }-sR\bar{\mathbf{x}}.$$ - В 3D аналогично — 7-параметрический Хельмерт (масштаб, 3 поворота, 3 переноса).
4) Если стабильных пунктов недостаточно
- Привяжитесь к внешней надёжной сети (региональные/национальные постоянные GNSS-станции) и выполните GNSS-кампанию.
- Создайте новый локальный регулярный набор опорных пунктов вне зоны воздействия метро и используйте их как базис для преобразований.
5) Моделирование деформации (если смещения распространены и непрерывны)
- Оцените поле перемещений как функцию координат (интерполяция, тонкопластинные сплайны, крiging) и примените его для реконструкции координат пунктов в нужной эпохе:
модель: ${\mathbf{x}}^{epoch}={\mathbf{x}}^{ref}+\mathbf{u}(\mathbf{x})$, где $\mathbf{u}(\mathbf{x})$ — вектор смещения.
- При необходимости совместно решите параметры деформации и координаты в общем нормальном уравнении с регуляризацией.
6) Корректная статистика и качество
- Выполните сетевую схему через обобщённую задачу (комбинированная ассоцирования GNSS, полигонометрия, нивелирование) с учётом ковариаций измерений.
- Оцените неопределённости преобразования и заранее сравните с допусками прикладных проектов; публикуйте матрицы неопределённости и эпохи координат.
7) Практические рекомендации по обеспечению непрерывности
- Документируйте эпо́хи координат (т.е. «координаты в системе на дату X»).
- Для пользователей поддерживайте возможность выдавать координаты в старой и в новой реализации через рассчитанное преобразование (и указывайте погрешности преобразования).
- Пометьте и исключите из опорной сети все пункты внутри зоны влияния метро; восстановите постоянные пункты вне зоны.
- Планируйте регулярный мониторинг (периодические GNSS сессии, мониторы вблизи стройки).
8) Итоговый рабочий порядок (сжатый)
1. Сбор текущих/исторических данных и ковариаций.
2. Выявление смещённых пунктов (тесты, проверки на полях).
3. Отбор стабильных пунктов или привязка к внешней сети.
4. Оценка преобразования (Helmert/SVD) и/или моделирование поля смещений.
5. Сетевая корректировка с учётом новых ограничений.
6. Документация, публикация трансформаций и контроль качества.
Если нужно, могу: а) предложить конкретную процедуру тестирования для ваших данных (формулы для ковариаций и порогов), б) подготовить скрипт/алгоритм расчёта 2D/3D-Helmert по вашим координатам.