Задание (учебное). Цель: по заданному профилю местности и серии тахеометрических ходов обнаружить и объяснить возможные несогласования, предложить и реализовать модель корректировки.
Дано (модельный пример — используйте данные для расчётов):
- Контрольная точка A: $X_A=1000.000\text{м},Y_A=1000.000\text{м},H_A=200.000\text{м}$.
- Замкнутый полиго́н: A–B–C–D–E–A. Измерены внутренние углы на вершинах и длины сторон (горизонтальные расстояния):
- Внутренние углы (градусы, минуты, секунды):
${\alpha }_A=85^{\circ }12^{\prime }30^{\prime \prime },{\alpha }_B=91^{\circ }05^{\prime }10^{\prime \prime },{\alpha }_C=89^{\circ }50^{\prime }40^{\prime \prime },{\alpha }_D=92^{\circ }11^{\prime }20^{\prime \prime },{\alpha }_E=81^{\circ }40^{\prime }20^{\prime \prime }.$ - Горизонтальные расстояния:
$L_{AB}=125.432\text{м},L_{BC}=138.567\text{м},L_{CD}=147.980\text{м},L_{DE}=132.214\text{м},L_{EA}=139.001\text{м}.$ - Для каждой стороны также есть измеренные наклонные расстояния $s_i$ и вертикальные углы ${\beta }_i$ (для вычисления высот), например:
- $s_{AB}=125.445\text{м},{\beta }_{AB}=-1^{\circ }15^{\prime }20^{\prime \prime }$ (от инструмента к призме; отрицательный — вниз),
- (аналогично для остальных сторон — даётся в задачнике).
- Рост штатива/призмы: инструмент $h_{inst}=1.50\text{м}$, призма $h_{prism}=1.50\text{м}$.
- Оценки точности: стандартная ошибка угла ${\sigma }_{\theta }=5^{\prime \prime }$, стандартная ошибка дистанции ${\sigma }_d=5\text{мм}$.
Задания студентам:
1. По исходным данным вычислить необработанные (сырые) координаты и высоты точек B,C,D,E, пользуясь приведёнными углами и горизонтальными расстояниями (построить полиго́н прямыми переборами, начиная из A). Формулы:
- Приведение углов: сумма внутренних углов для n-угольника должна быть $\sum {\alpha }_i=(n-2)\cdot 180^{\circ }$. angular misclosure: ${\delta }_{\alpha }=\sum {\alpha }_i-(n-2)\cdot 180^{\circ }$.
- Для перехода по стороне $i$: вычислить азимут/угол направления и при горизонтальной длине $L_i$ приращения:
$\Delta X_i=L_i\cos {\theta }_i,\Delta Y_i=L_i\sin {\theta }_i.$ - Для высот: горизонтальная дистанция $d_{h,i}=s_i\cos {\beta }_i$, приращение высоты:
$\Delta H_i=d_{h,i}\tan {\beta }_i+h_{inst}-h_{prism}.$
2. Оценить замыкание координат и высот:
- Координатная несогласованность (линейное замыкание):
$\Delta X=\sum \Delta X_i-(X_A-X_A)=\sum \Delta X_i,\Delta Y=\sum \Delta Y_i.$ Линейный незамык: ${\Delta }_{lin}=\sqrt{(\Delta X{)}^2+(\Delta Y{)}^2}.$ - Угловая несогласованность ${\delta }_{\alpha }$ как выше.
- Высотное несогласование: $\Delta H=\sum \Delta H_i-(H_A-H_A)=\sum \Delta H_i.$
3. Проанализировать возможные причины несогласований (объяснить физически и записать математические модели):
- Случайные погрешности: измерения углов и расстояний с заданными $\sigma$.
- Систематические ошибки дистанций (EDM scale/температура/атмосфера): модель масштаба
$d_i^{meas}=s\cdot d_i^{true}+{\epsilon }_i,$ где $s$ — близко к 1 (например $1+\kappa$), ${\epsilon }_i$ — случайная составляющая.
- Систематическая ошибка вертикального круга (vertical index error): измеренный вертикальный угол смещён на $v_0$:
${\beta }_i^{true}={\beta }_i^{meas}+v_0.$ - Коллимационная/азимутальная ошибка (постоянный сдвиг направлений): все направления смещены на $c$:
${\theta }_i^{meas}={\theta }_i^{true}+c.$ - Ошибки из-за незаполненных высот/различных ростов штатива/ неправильного учёта наклона призмы и т.п.
4. Определить признаки, по которым отличить случайные и систематические ошибки:
- Если линейные остатки пропорциональны длинам сторон → признак масштаба $s$.
- Если все измеренные вертикальные углы дают одно и то же смещение высот → вертикальный индекс $v_0$.
- Если угловая несогласованность распределена равномерно → случайная; если накопленное смещение углов имеет тренд → систематический уклон (например, неисправность лимба).
5. Предложить корректирующие модели и методы (с формулами):
- Быстрое приближение (практика в полевых условиях):
- Угловая корректировка равномерно: $\delta {\theta }_i^{corr}=-\frac{{\delta }_{\alpha }}{n}.$ - Координатная корректировка по правилу Боучича (Bowditch, «по длине»):
$\Delta X_i^{corr}=-\frac{L_i}{\sum L_k}\Delta X,\Delta Y_i^{corr}=-\frac{L_i}{\sum L_k}\Delta Y.$ - Высотная корректировка пропорционально длинам: $\Delta H_i^{corr}=-\frac{L_i}{\sum L_k}\Delta H.$ - Оценка и устранение масштабной ошибки (параметрический подход):
- Модель для дистанций: $d_i^{meas}=s\cdot d_i^{calc}+{\epsilon }_i.$ Оценить $s$ методом МНК:
$$s=\frac{\sum w_i{d}_i^{meas}{d}_i^{calc}}{\sum w_i(d_i^{calc}{)}^2},$$ где $d_i^{calc}$ — длины, вычисленные по координатам, $w_i=1/{\sigma }_{d_i}^2$.
- Модель вертикального индекса $v_0$:
$${\beta }_i^{true}={\beta }_i^{meas}+v_0,$$ оценить $v_0$ через минимизацию несогласованности высот (линейная аппроксимация).
- Полная сетьная (векторная) привязка методом наименьших квадратов:
- Сформировать вектор наблюдений $l$ (углы, расстояния, вертикали), невязки $v$ и матрицу частичных производных $A$ (линейризовать геометрические уравнения). Решение:
$$\hat{x}=(A^{T}PA{)}^{-1}{A}^{T}Pl,$$ где $P$ — матрица весов; получить поправки к координатам и к параметрам систематических ошибок (например $s,v_0,c$) если они включены как дополнительные неизвестные.
6. Практическая последовательность действий для выполнения:
- (а) Построить сырую сеть, вычислить замыкания и статистические параметры.
- (б) Проверить пропорциональность линейных остатков длинам → тест на масштаб.
- (в) Оценить $s$ и/или $v_0$ простыми формулами; скорректировать измерения.
- (г) Если требуется точность выше, собрать все наблюдения в МНК-модель и оценить одновременно координаты и параметры систематич. ошибок.
- (д) Сравнить результаты: быстрые поправки (Bowditch) vs МНК — проанализировать разницу и остатки.
Контрольные вопросы/отчёт:
- Показать вычисления необработанных координат и высот.
- Привести величины ${\delta }_{\alpha },\Delta X,\Delta Y,\Delta H$.
- Выявить наиболее вероятные источники ошибок и аргументировать выбор модели исправления.
- Реализовать как минимум два способа корректировки (Bowditch и пар-метр. МНК для масштаба или вертикального индекса).
- Отчитаться по остаткам и оценкам точности до и после корректировки.
Короткие подсказки по формулам (всем математическим операциям):
- Приращения по стороне: $\Delta X=L\cos \theta ,\Delta Y=L\sin \theta .$ - Приведение наклонной дистанции в горизонтальную: $d_h=s\cos \beta .$ - Приведение наклонной дистанции в высоту: $\Delta H=d_h\tan \beta +h_{inst}-h_{prism}.$
Замечание по параметрической модели: если при анализе видно, что остатки расстояний пропорциональны длине, введите параметр масштаба $s$ в МНК; если остатки вертикалей демонстрируют постоянный сдвиг, введите $v_0$ (вертикальный индекс). В образовательной работе продемонстрируйте оба подхода и сопоставьте результаты.
Если хотите — могу подготовить подробный пошаговый пример с конкретными числовыми вычислениями (полный расчёт необработанных координат, оценка замыканий и применение Bowditch и МНК для оценки $s$ и/или $v_0$).