Для нахождения стороны квадрата, вписанного в прямоугольный треугольник с катетами 6 и 10, с общим прямым углом, воспользуемся следующими обозначениями:

Пусть (x) — длина стороны квадрата.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами (a = 6) и (b = 10). Площадь этого треугольника равна:

[
S_{triangle} = \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times 6 \times 10 = 30.
]

Пусть квадрат вписан так, что одна из его сторон лежит на гипотенузе, а другой — на катетах. Мы можем использовать свои знания о схеме размещения квадрата внутри треугольника, чтобы найти его сторону.

Координаты вершин треугольника можно задать так:

Вершина (A(0, 0)),Вершина (B(10, 0)),Вершина (C(0, 6)).

Когда мы размещаем квадрат, его одна сторона будет лежать на катете, например, (AB), а вершина, расположенная на катете (AC) (то есть вертикальная сторона квадрата), будет находиться в точке ( (0, x) ).

Таким образом:

По вертикали квадрат поднимается до (x).Дальше по горизонтали он займет место от точки ((0, x)) до точки ((x, x)).

Теперь, чтобы найти (x), используем теорему о подобии треугольников. Мы видим, что образуется новый треугольник, который подобен исходному.

Поскольку вероятность появление сторон таких у треугольников, обращаем внимание на пропорции.

Мы имеем:

[
\frac{6 - x}{6} = \frac{x}{10}.
]

Это уравнение говорит о том, что отношение разности длины одного из катетов и стороны квадрата к исходному катету равно отношению стороны квадрата к другому катету.

Теперь перемножим и решим уравнение:

[
10 (6 - x) = 6x,
]

[
60 - 10x = 6x,
]

[
60 = 16x,
]

[
x = \frac{60}{16} = \frac{15}{4} = 3.75.
]

Таким образом, сторона квадрата равна (3.75) или ( \frac{15}{4} ).