Из условия задачи мы можем записать следующие равенства:
AC + BC = √45
AC^2 + BC^2 = AB^2
AB = 2
BC = x
AC = √(45-x)

Так как высота, проведенная из вершины C, равна 2, то мы можем записать:
(AC BC)/2 = 2
(√(45-x) x)/2 = 2
√(45-x) * x = 4
x = 4/√(45-x)

Подставляем x в выражение AC^2 + BC^2 = AB^2:
(√(45-x))^2 + (4/√(45-x))^2 = 4
45 - x + 16/(45-x) = 4
46(45-x) - x^2 = 180 - 4x
2070 - 46x - x^2 = 180 - 4x
42x + x^2 = 1890

Из этого уравнения находим x = 30

Теперь можно найти значение AC:
AC = √(45 - 30) = 3

Площадь треугольника ABC равна:
S = (1/2) AC BC = (1/2) 3 4 = 6

Ответ: S = 6.