Пусть даны два прямоугольных треугольника ABC и ADE, где AB = AD - катеты, BC = DE - гипотенузы, AC = AE - биссектрисы.

Проведем биссектрису из вершины A треугольника ABC и обозначим их пересечение со стороной BC как F. Также обозначим углы CAB и EAD как α и углы CAF и EAF как β.

Так как треугольник ABC прямоугольный, то угол ACB = 90°. Также угол ACF = α/2 (по построению) и угол CAF = 90° - α/2. Так как углы треугольника суммируются в 180°, то угол AFC = 180° - 90° - (90° - α/2) = α/2.

Аналогично, так как треугольник ADE тоже прямоугольный, то угол DAE = 90° и угол ADF = β/2. Из того, что углы треугольника суммируются в 180°, следует, что угол ADF = 180° - 90° - (90° - β/2) = β/2.

Так как углы ACF и ADF равны, то треугольники ABC и ADE подобны по третьему углу. Таким образом, мы доказали равенство прямоугольных треугольников по катету и биссектрисе, проведённой из вершины прямого угла.