Площадь сектора вычисляется по формуле: (S = \frac{1}{2} r^2 \theta), где r - радиус окружности, а (\theta) - центральный угол, который описывает дугу.
Поскольку у нас радиус окружности 6 см, центральный угол (\theta = 360^\circ) (полную окружность), а дуга составляет треть окружности (120°), то площадь сектора равна:
(S = \frac{1}{2} \cdot 6^2 \cdot 120 = 36 \cdot 60 = 216) кв.см.

Площадь трапеции равна (S = \frac{1}{2} h(a+b)), где h - высота трапеции, а a и b - длины оснований.
Поскольку сумма боковых сторон равна 12 см, то a + b = 12.
Также известно, что площадь трапеции равна 36 см^2, поэтому:
36 = ( \frac{1}{2} h \cdot 12),
36 = 6h,
h = 6 см.

Таким образом, высота трапеции равна 6 см.