Обозначим боковую сторону равнобедренного треугольника через (a), а высоту через (h).

По условию, центр вписанной в треугольник окружности дает нам два равнобедренных треугольника. Так как центр касается стороны треугольника, то он делит высоту на две части, пропорциональные 6 и 5.

Таким образом, мы можем записать:
[\frac{h}{6} = \frac{h - a}{5}]

Также известно, что площадь треугольника равна (S = \frac{ac}{2}), где (c) - высота, а (a) и (c) - основание треугольника.

Площадь равнобедренного треугольника можно выразить через радиус вписанной в него окружности:
[S = r \cdot p]

где (r) - радиус вписанной окружности, (p) - полупериметр треугольника.

Полупериметр равнобедренного треугольника можно найти, зная два его катета и основание:
[p = \frac{a + a + 77}{2} = a + 38.5]

Так же радиус вписанной в треугольник окружности равен:
[r = \frac{S}{p} = \frac{ac}{a + 38.5}]

Таким образом, с учетом полученной пропорции и выражения для радиуса вписанной окружности, мы можем найти боковую сторону (a).