Для начала найдем угол B:

Угол B = 180 - 54 - 84 = 42 градуса.

Теперь зная угол B и угол C1 (который является половиной угла C), можем найти угол CC1B (внутренний угол треугольника BC1C):

CC1B = 84 - 42 = 42 градуса.

Так как CC1 - биссектриса угла C, то угол C1BC = угол CC1B = 42 градуса.

Теперь, так как BB1 - биссектриса угла B, то угол C1BC = угол BCB1.

Таким образом, угол BCB1 = 42 градуса.

Теперь можем применить закон синусов к треугольнику BC1B1:

BC1 / sin 84 = BC / sin 42.

BC = BC1 sin 42 / sin 84
BC = 10 sin 42 / sin 84
BC ≈ 7,11 см.

Итак, длина отрезка BC составляет около 7,11 см.