Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойства пересекающихся хорд в окружности.

Из условия задачи известно, что BК относится к КА в отношении 2:1. Таким образом, длина КВ = 2/3 BD = 2/3 √2.

Также известно, что CD = 16, BD = √2 и ED = 6.

Для начала найдем длину КА. Используя теорему о пересекающихся хордах, получаем:

КВ ВА = DV VE

(2/3 √2) ВА = 16 * 6

(2/3 √2) ВА = 96

ВА = 144 / √2 = 72√2

Теперь найдем длину АК:

AK = AB - BK = 72√2 - 2/3 * √2 = 70√2

Теперь найдем длину АС, используя равенство хорд, пересекающихся в одной точке:

AK KC = CK AD

70√2 KC = (KC + 16) 6

70√2 * KC = 6KC + 96

64KC = 96

KC = 1.5

И, наконец, найдем АС:

AC = AK + KC = 70√2 + 1.5 = 70√2 + 3/2

Ответ: длина AC равна 70√2 + 1.5.