Поскольку биссектриса угла A делит сторону BC на три равные части, то BM = MN = NC.

Так как сторона BC равна сумме BM, MN и NC, получаем:

BC = BM + MN + NC = 3BM

То есть BM = BC/3.

Так как сторона AB равна 4, то из треугольника прямоугольника ABC получаем:

BD^2 = AB^2 + AD^2 = 4^2 + BC^2

То есть BC = sqrt(BD^2 - 16).

Из BM = BC/3 находим BM:

BM = sqrt(BD^2 - 16) / 3

Так как BM = MN = NC, то MN = sqrt(BD^2 - 16) / 3.

Теперь находим полупериметр прямоугольника ABCD:

p = (AB + BC + AD + CD) / 2 = (4 + sqrt(BD^2 - 16) + AD + BD) / 2

Так как BC = BM + MN + NC, то BD = BC - DM - DN = sqrt(BD^2 - 16) - BM - MN.

Имеем систему уравнений:

AD = sqrt(BD^2 - 16) + MN
p = (4 + sqrt(BD^2 - 16) + AD + BD) / 2

Решив эту систему, найдем AD и BD, а затем суммируем все стороны прямоугольника для нахождения периметра.