Обозначим стороны треугольника следующим образом: AB = 12, BC = x, AC = y. Так как точка K лежит между A и H, то можно заметить, что ∠ACK = ∠HCK. Также, ∠ACK + ∠HCK = 90 (так как ∠A + ∠B + ∠C = 180 в прямоугольном треугольнике).

Из условия известно, что ∠HCK = 15 градусов, а так как углы ∠ACK и ∠HCK равны, то ∠ACK = 15 градусов.

Теперь рассмотрим треугольник ACH. Так как ∠ACK = ∠HCK = 15 градусов, то этот треугольник равнобедренный и AC = CH = y. Так как AC = y, то из прямоугольного треугольника ABC:

AC^2 + BC^2 = AB^2
y^2 + x^2 = 12^2
y^2 + x^2 = 144

Теперь рассмотрим треугольник ACK. Он также равнобедренный, AC = CK = y. Так как CK = y и ∠ACK = 15 градусов, то:

CK = AC = y
y / x = cos 15°
y = x * cos 15°

Подставим значение y в уравнение из треугольника ABC:

(x cos 15°)^2 + x^2 = 144
x^2 cos^2 15° + x^2 = 144
x^2 (1 + cos^2 15°) = 144
x^2 (1 + 0.966) = 144
x^2 * 1.966 = 144
x^2 = 144 / 1.966
x^2 = 73.17
x = sqrt(73.17)
x ≈ 8.55

Ответ: сторона BC ≈ 8.55 см.