Для нахождения объема правильной четырехугольной пирамиды мы можем воспользоваться формулой:

V = (1/3) S h,

где S - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.

Поскольку у нас нет данных о сторонах основания четырехугольника, мы можем найти площадь основания пирамиды с помощью тригонометрии. Разобьем четырехугольник на два прямоугольных треугольника, проведя медиану из вершины пирамиды к центру основания.

Таким образом, мы получим прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной радиусу окружности, вписанной в основание пирамиды. Известно, что угол между радиусом окружности и ее хордой (боковым ребром пирамиды) составляет 45 градусов. Значит, у нас получился прямоугольный треугольник с катетами в длинах r и r sin 45 = r √2/2, где r - радиус окружности.

Для такого треугольника можно составить отношение r/(r √2/2) = 1/√2/2, откуда r = (2/√2)r = r √2.

Теперь, зная, что боковое ребро (r * √2) равно 8 см, мы можем найти радиус r = 8 / √2 = 8√2 / 2 = 4√2 см.

Площадь основания S = πr^2 = π(4√2)^2 = 32π см^2.

Теперь можем найти объем пирамиды: V = (1/3) S h = (1/3) 32π 8 = 85,333 см^3.

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды равен 85,333 см^3.