Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то угол BAC = BCA = 30^{\circ}.

а) Высота проведенная к основанию разделяет треугольник на два равнобедренных треугольника. Таким образом, треугольник ABC разделяется на два равносторонних треугольника ABC' и ACB'. В треугольнике ACB' у нас уже известно, что сторона AC равна 12, а угол ACB' = 30^{\circ}. Тогда мы можем выразить высоту h (проведенную к основанию) через сторону треугольника ACB':

h = AC sin(30^{\circ}) = 12 \frac{1}{2} = 6.

Ответ: высота, проведенная к основанию, равна 6.

б) Чтобы найти основание треугольника ABC (сторону BC), мы можем воспользоваться теоремой косинусов. Обозначим сторону BC за x. Тогда:

x^2 = AC^2 + BC^2 - 2 AC BC * cos(120^{\circ}).

Поскольку у треугольника ABC угол BAC = 30^{\circ}, мы можем записать:

x^2 = 12^2 + x^2 - 2 12 x * cos(30^{\circ}).

Упростим уравнение:

x^2 = 144 + x^2 - 24x * \frac{\sqrt{3}}{2}.

x = 144 - 12x\sqrt{3}.

12x\sqrt{3} = 144.

x = \frac{144}{12\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}.

Ответ: основание треугольника ABC равно 4\sqrt{3}.