Докажем данное утверждение.

Пусть у нас есть треугольник ABC и через каждую его вершину проведена прямая, делящая его периметр пополам. Обозначим точки пересечения прямых, проведенных через вершины треугольника, за X, Y, Z соответственно.

Так как прямая, проходящая через точку А и делящая периметр треугольника пополам, делит сторону BC на две равные части, то можно сказать, что точка X является серединой отрезка BC. Аналогично, точки Y и Z являются серединами сторон AC и AB соответственно.

Из этого следует, что отрезки AX, BY и CZ пересекаются в одной точке - центре тяжести треугольника ABC. Таким образом, прямые, проведенные через вершины треугольника и делящие его периметр пополам, пересекаются в одной точке - центре тяжести треугольника.