а) Поскольку диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О, то треугольники AOB и COD подобны (по правилу AA). Так как ABCD - прямоугольник, то COD = 90°, а потому и AOB = 90°. Таким образом, треугольник AOB является прямоугольным.

Поскольку мы уже доказали, что треугольник AOB прямоугольный, то нам остается проверить, равнобедренный ли он. Из подобия треугольников AOB и COD следует, что AO / CO = BO / DO. Но так как АО = OD (диагонали равны), то АО = ОD, следовательно, треугольник AOB равнобедренный.

б) Поскольку треугольник AOB равнобедренный, то углы AOB и OAB равны между собой. Пусть эти углы будут α. Тогда из прямоугольного треугольника AOB следует, что sin(α) = AB / AO = 4 / (4+5) = 4 / 9. Следовательно, угол AOB = 30°, а его площадь равна S = 1/2 AB AO = 1/2 4 5 = 10 см².