Обозначим высоту треугольной пирамиды как h, а сторону основания как a. Также обозначим радиус вписанной окружности как r.

Так как угол между боковой гранью и основанием равен 60 градусам, то получаем, что боковые грани треугольной пирамиды являются равносторонними треугольниками. Из этого следует, что расстояние от центра основания до боковой грани (высота боковой грани) равно h = a√3 / 2.

Так как высота пирамиды h равна сумме радиуса r и высоты h' (расстояние от основания пирамиды до основания боковой грани), получаем уравнение h = r + h'.

Также, из подобия треугольников получаем, что a/2r = h/(a√3/2), откуда следует, что r = a/2√3.

Используя уравнения h = r + h' и r = a/2√3, найдем h и h':
a/2√3 = a/2 + a√3/2
a/2√3 = a/2 + 2√3/2
h = r + 2√3 = a/2√3 + 2√3 = 3a / 2√3

Теперь можем найти объем пирамиды:
V = (1/3) S h, где S - площадь основания пирамиды.
Поскольку основание пирамиды - правильный треугольник со стороной a, площадь основания равна S = (a^2√3) / 4.

V = (1/3) (a^2√3 / 4) (3a / 2√3) = (1/4) * a^3 = (a^3) / 4

Так как у нас дано, что a = 4, то объем пирамиды V = (4^3) / 4 = 64
ответ: 64.