Найдем длину радиуса окружности, описанной вокруг треугольника $ABC$. Пусть стороны треугольника равны $a = \sqrt{5}$, $b = \sqrt{7}$, $c = 2\sqrt{3}$.

По формуле площади треугольника через стороны:
$$S = \frac{abc}{4R},$$
где $R$ - радиус описанной окружности.

Площадь треугольника $ABC$ можно также найти через полупериметр:
$$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)},$$
где $p = \frac{a + b + c}{2}$.

Сравниваем две формулы и находим радиус окружности:
$$\frac{abc}{4R} = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}.$$

Длины двух сторон треугольника равны $a = \sqrt{7}$ и $b = 2\sqrt{7}$, противоположный меньшей стороне угол равен $30^\circ$. Найдем величины всех углов и длину третьей стороны $c$ треугольника $ABC$.

Используем закон косинусов:
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C,$$
где $C$ - угол между сторонами $a$ и $b$ (угол противоположный третьей стороне $c$).

Решаем полученные системы уравнений и находим искомые значения.