Поскольку В и С - точки касания, то ВА и СА являются радиусами окружности. Обозначим радиус окружности как r.

Так как ВА и СА являются радиусами окружности, то ВА=СА=r.

Также из условия задачи известно, что ВР=4 см, FT=0,5FР, а ВА=СА=r.

Сначала найдем длину отрезка ВТ:

ВА=СА=r, поэтому треугольник ВАТ - равнобедренный.

Следовательно, ВТ=2ВР=24=8 см.

Теперь найдем длину отрезка FР:

FT=0,5FР

Так как ВА и СА являются радиусами окружности, то треугольник ВСФ - прямоугольный.

ФС и ФТ - основание и высота прямоугольного треугольника.

Так как FT=0,5FР, то ФС=2FР.

По теореме Пифагора:

(ФС)^2 = (ФТ)^2 + (ТС)^2

(2FР)^2 = (ФТ)^2 + r^2

4FР^2 = (ФТ)^2 + r^2

Также заметим, что треугольник FВП - подобен треугольнику ФСТ:

FВ/FT=FP/FT

FP/FT=ВР/ФС

FP/0,5FP=4/2FР

FP/0,5FP=2

ФP=2*0,5FP=FP

Таким образом, FP=FТ.

Тогда уравнение примет вид:

4FР^2 = (FР)^2 + r^2

3(FP)^2 = r^2

3(8)^2 = r^2

r^2= 192

r=√192

Теперь найдем длину отрезка PT:

PT=FT+TP

PT=FР+ФP

PT=4+4

PT=8 см

Итак, длина отрезка РТ равна 8 см.