Обозначим радиус окружности, вписанной в треугольник МВN, как r.

Из равнобедренного треугольника АВС мы видим, что угол А = угол С. Также угол ВАС = 180 - 2 угол А. Значит, sin(2 угол А) = 4/5.

Из формулы синуса для удвоенного угла, sin(2 угол А) = 2 sin(угол А) * cos(угол А).
Так как АВ = ВС, то угол МВС = угол МАВ = угол А.

Из этого следует, что в треугольнике МВС sin угла М = 4/5.

Применим формулу радиуса вписанной окружности для треугольника МВN: r = S / p, где S - площадь треугольника МВN, p - полупериметр треугольника.

Поскольку у нас есть два треугольника МВС и МАВ, у которых схожие пропорции, мы можем рассмотреть их площади.

Пусть S_1 - площадь треугольника МВС, S_2 - площадь треугольника МАВ, p_1 - полупериметр тругольника МВС, p_2 - полупериметр тругольника МАВ. Тогда:

S_1 / p_1 = S_2 / p_2 = 4r, где r - радиус вписанной окружности для обоих треугольников по условию.

Вспомним, что в сегменте окружности, примыкающем к хорде на расстоянии r от центра, площадь сегмента равна половине площади окружности, угол которой опирается на данный сегмент.

Итак, мы можем записать:

S_1 = 0.5r^2sin(угол МВС)
S_2 = 0.5r^2sin(угол МАВ)

Тогда получаем:

2r = S_1 / p_1 = r^2 sin(угол МВС) / p_1 = r^2 (4/5) / (10 / 2 + 10 / 2 + 5) = r^2 * 4/5 / (10 + 5) = r^2 / 15

Аналогично для второго треугольника:

2r = S_2 / p_2 = r^2 sin(угол МАВ) / p_2 = r^2 (4/5) / (10 + 10 + 5) = r^2 * 4/5 / 25 = r^2 / 25

Теперь сравниваем два равенства и получаем, что:

r^2 / 15 = r^2 / 25

25r^2 = 15r^2
10r^2 = r^2
10 = r

Итак, радиус окружности, вписанной в треугольник МВN, равен 10.